常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：a21a；n( n1)n⑵将分子或分母放大（或缩小）n(n 1)( lg 3lg 5) 2n(n 1)2⑶利用基本不等式，如：lg 3lg 52lg15lg 16 lg 4 ；⑷二项式放缩 :2 n(11) nCn0C n1Cnn , 2nCn0C n1n 1,n012n2n2n2n(n 1)( n2)2C nC nC n2(5) 利用常用结论：Ⅰ .1 的放缩：222kkk12kkk1Ⅱ .1 的放缩 (1)：111（程度大）k 2k (k 1) k 2k(k 1)Ⅲ .1 的放缩 (2)： 111111)（程度小）2k2k2(k1 (k 1)(k 1) 2 k 1 k 1Ⅳ .1 的放缩 (3)： 1412(11) （程度更小）k 2k 24k22k 1 2k 1Ⅴ .分式放缩还可 利用真（假）分数的性质:bbm (ba 0, m0)和 bbm (a b 0, m 0)aamaam记忆口诀“小者小, 大者大”。
解释 : 看 b, 若 b 小 , 则不等号是小于号 , 反之亦然 .Ⅵ . 构造函数法 构造单调函数实现放缩例：f (x)xx( x 0)，从而实现利用函数单调性质的放缩：1f ( a b )f ( ab ) 一．先求和再放缩例 1. an1, 前 n 项和为 S，求证： sn 1n(n1)n例 2. an( 1) n,前 n 项和为 Sn ，求证： sn132二．先放缩再求和（一）放缩后裂项相消例 3．数列 { an} ，an(1)n 1 1，求证：s2n2n ，其前 n 项和为 sn2（二）放缩后转化为等比数列例 4.{bn} 满足： b11,bn1bn2(n2)bn3（ 1） 用数学归纳法证明：bnnTn111...1Tn1（ 2）3b13b23b33bn2，求证：三、裂项放缩1 / 3.例 5.(1)n2的值 ;(2)求证n15 .求:k1 4k 21k1 k23例 6.(1)求证:111171(n2)3252(2n1) 262( 2n1)(2)求证 :111111416364n 224n(3)求证： 2(n11)11112 ( 2n1 1)23n例 7.求证:例8.已知6n1115(n 1)( 2n 1)19n234a4n2n ,2n,求证:3 .nTnanT1 T2 T3Tna1 a22四、分式放缩姐妹不等式 : bbm(ba0, m 0)和 bbmb 0, m 0)aamaa( am记忆口诀”小者小, 大者大”解释 : 看 b, 若 b 小 , 则不等号是小于号, 反之亦然 .例 9. 姐妹不等式 : (11)(11)(11)(11)2n 1 和352n1(1111(11)1也可以表示成为)(1)(1)2n2n12462 4 62n2n1和1 3 5( 2n 1)11 3 5( 2n 1)2 4 62n2n 1例 10. 证明: (11)(11 )(11 )(11)33n1.五、均值不等式放缩473n2例 11.设 Sn1223n(n1) . 求证 n(n1)( n1) 22Sn.2例 12. 已知函数 f ( x)1，a>0,b>0, 若4 ，且 f ( x) 在 [0 ， 1] 上的最大值为1，12a 2 bxf (1)5求证： f (1)f ( 2)f (n)n11 .2 n 12六、二项式放缩2n(1 1) nC n0Cn1Cnn , 2nCn0C n1n 1 ,2nC n0Cn1Cn2n 2n 22 nn(n 1)( n 2)2例 13.设 n1, nN ，求证2 n8.()(n1)( n2)3例 14.an2 3n,试证明： .n≤ 11114n2a1a2an4七、部分放缩 ( 尾式放缩 )例 15.求证 :1114313213 2 n 11 7例 16.设 a n11112.求证： a n2.。