单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.7.几何空间向量的外积,外积的基本性质（特别注意反交换律）,外积的计算,内积与外积在立体几何中的应用,点到直线的距离,二面角,直线与平面的夹角,点到平面的距离,二重外积,10/10/2024,1,外积的定义,向量的外积是向量间的另一种重要的运算,有很多应用,如力学中的力矩.,10/10/2024,2,外积的性质,证明:,10/10/2024,3,外积的性质,则,证明:,10/10/2024,4,外积的运算性质,定理 7.3.,证明:,(EP1)由定义可得;,(EP2),且,由反交换律得另一等式,10/10/2024,5,外积的运算性质,因,于是,由命题7.2可得,10/10/2024,6,外积的运算性质,10/10/2024,7,外积的运算性质,因此,最后,由反交换律可得右分配律.,10/10/2024,8,外积的计算,则,从而,证明:由外积的性质易得.,10/10/2024,9,外积的计算:说明,1)外积计算公式也形式地记为,因此,平行四边形的面积为,10/10/2024,10,外积的计算：例题,解:先求得,于是,10/10/2024,11,外积的计算：例题,已知空间3点 A(1,1,0),B(1,2,1),C(0,1,2).,求三角形,ABC,的面积,;,求,AB,边上的高,.,解:三角形ABC的面积为以AB,AC为邻边的平行四边形的,面积的一半,所以,=(2,1,1).,AB边上的高：,10/10/2024,12,外积与内积在立体几何中的应用,立体几何中的夹角与距离的问题可以转化为向量的计算问题.,建立适当的直角坐标系后,应用外积与内积有时可以简化计算过程,或者使得思路变得简单.,这里将涉及点到直线的距离,二面角,直线与平面的夹角,点到平面的距离等.,点到直线的距离.,设,P,为空间一点,l,为一空间直线.,在直线上任取两点,A,B,10/10/2024,13,点到直线的距离：例题,求点,M,到直线,PQ,距离.,解:建立如图的直角坐标系,得,于是,10/10/2024,14,二面角,则这两个平面所成的二面角等于,或,10/10/2024,15,直线与平面的夹角,则直线与平面的夹角为,10/10/2024,16,点到平面的距离,在平面上任取一点,A,10/10/2024,17,例题 7.4,求,解:先给出相关点的坐标:,10/10/2024,18,例题 7.4,10/10/2024,19,例题 7.4,平面,BPQ,的法向量为,平面,MPQ,的法向量为,可以看出该二面角为钝角,10/10/2024,20,例题 7.4,=4,10/10/2024,21,二重外积,命题 7.4.,proof,由反交换律得到,可见,向量的外积不满足结合律.,例.证明雅可比恒等式:,证：,三式相加即得.,10/10/2024,22,命题 7.4 的证明,命题 7.4,证:,取一个右手系直角坐标系,有,同理可得,所以命题成立.,back,10/10/2024,23,。