第三章第三章1章节

第三章 微分与导数的应用,§3-1. 微分中值定理,一、费马 (Fermat)定理,1. 极值的定义,若f (x)在 U( )内有定义, 且有 f (x) f () xU( ), 则称f ( )为f (x)的极大值,  称为f (x)的极大点.,若f (x)在U( )内有定义, 且有 f (x) f ( ) xU(), 则称f ( )为f (x)的极小值,  称为f (x)的极小点.,2. 费马定理,设函数f (x)在区间 I 内有定义，且在 I 内部某点  处取极大值(极小值). 如果 f ' ()存在，则必有f ' ()=0.,,证：设 f (x)在 I 的内部某点 处取极大值f ( ),则有,于是,对于f ( )为极小值的情况可类似证明.,若f ( )存在，则,,对于区间端点, 费马定理的结论不一定成立(见下图).,,二、罗尔定理 (Rolle)中值定理,设 (1) f (x)C( [a,b])；,(2) f (x)在(a,b)内可导；,(3) f (a)=f (b)，,则至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) =0.,证：,必在[a, b]上至少取到它的最大值,,最小值各一次.,令,(i) 若M=m,于是,即(a, b)内的任何一点均可作为定理中的点.,(ii) 若,，即 M m, f (x)不能同时在x=a和x=b两点分别达到最大值M和最小值m,即至少存在一点(a, b)，使得,由费马定理可知：,例1. 设f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，abcd为实数. 证明方程 f (x)=0，有且仅有三个实根，并指出这三个根所在区间.,证： f (x)是一个四次多项式, f (x)在[a, b], [b, c], [c, d]上连续，可导，,又 f (a)=f (b)=f (c) =f (d)=0,故 f (x)在[a, b], [b, c], [c, d]上满足Rolle定理条件.,从而， 1(a, b), 2(b, c), 3(c, d), 使得,f (1)= f (2)= f (3)=0, f (x)是一个四次多项式,,故 f (x)=0 有且仅有三个实根：,1(a, b), 2(b, c), 3(c, d)., f (x)是一个三次多项式, 它最多有三个实根,,证：令F(x)=x2(f (b)f (a))(b2a2)f (x),,由 f (x)的连续性和可导性，得,F(x)C ([a, b])，F(x)在 (a, b)内可导,,又 F(a)=a2(f (b)f (a))(b2a2) f (a)=a2f (b)b2f (a),F(b)=b2(f (b)f (a))(b2a2) f (b)=a2f (b)b2f (a),即 F(b) = F(a),由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得,F()=2 (f (b)f (a)(b2a2)f ()=0,即 在(a, b)内方程 2x(f (b)f (a)=(b2a2)f (x) 至少有一根。

例3. 设a0, a1, …, an 满足,证明 方程a0+a1x+…+an1xn1+anxn =0 在(0, 1)内至少有一实根,证: 令,则，f (x)C([0, 1])，在(0, 1)内可导又 f (0)=0,,即 f (0)=f (1),故 f (x)满足Rolle定理条件.,由Rolle定理，命题获证.,,2. 罗尔定理的几何意义：,三、拉格朗日中值定理 (Lagrange),设 (1) f (x)C ( [a, b]);,(2) f (x)在(a, b)内可导，,则至少存在一点 (a, b)，使,,构造一个辅助函数:,则由定理的条件, 得到: F(x)C([a, b]), 在(a, b)可导，,又 F(a) = F(b) = 0,,故由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得,F ( )=0,即,亦即,(1) 定理的证明方法很多，例如，可作辅助函数,(2) 不论ab还是ba，定理中的公式均可写成：,2. 关于拉格朗日中值定理的几点说明:,(3) 定理可以用增量形式表示,或,在以x和x+x为端点的区间上应用拉格朗日中值定理时, 所得到的 可表示为,这时, 定理中的公式为,(4) 函数增量计算公式的比较,(微分, 近似),(拉氏, 精确),(5) 拉格朗日中值定理的物理意义,(1)推论1设f (x)在区间I上可导，且f (x)=0, xI. 则f (x)=C, xI.,证：,x1,x2I, 不妨令x1x2, 则f (x)在[x1, x2]上满足拉格朗日中值定理条件，故有,而 f () = 0, 故,f (x2)=f (x1),由x1, x2 的任意性，f (x)=C, xI. (C为常数),3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论,(C为常数),推论2. 若f ' (x)=g' (x)，xI, 则 f (x)=g(x)+C , xI (C为常数),证：令 F(x)=f (x)g(x), 由推论1立即可证.,(3)推论3. 若f (x)在[a, b]上满足拉格朗日中值定理条件，且| f (x) |M, x(a, b)，则,该推论很重要，常用来证明一些重要的不等式.,例4 证明：当0ab时，,证 即要证,则 f (x)在[a, b]上满足拉格朗日中值定理条件，,故,例5 证明：x 1时，ex ex.,证(分析)：即要证：ex1x (x 1),,或 x1lnx (x 1),,比较 f (b)f (a) = f ()(ba), 如果在[1, x]中，运用ln1=0 就有 x1lnxln1. 但是没有出现,注意，我们是证不等式，正好要利用| f ( ) | M来引入不等号.,由1 x ,因此，证明该不等式时，可以令,证明的过程由学生自己完成.,例6 证明：,证：,取x=0, 计算C值：,即,又 x =1时，,x = 1时，,综上所述,例7. 证明：若f (x)在(, +)内满足关系式 f (x)=f (x)，f (0)=1，则 f (x)=ex.,证：要证 f (x)=ex, x(, +)，,即要证,令,(问题转化为证明 (x)=0),又 f (0)=1, 故,从而,例8. 证明若f (x)在[a, b]上可微，则至少存在一点,(a, b), 使,证(分析): 要证明,与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作辅助函数,余下的由学生自己完成.,例9. 设f (x)=3x2+2x+5，求f (x)在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的  值.,解：f (x)为多项式，在[a, b]上满足拉格朗日中值定理条件, 故,由此解得,,(即此时 为区间[a, b]的中点),,四、柯西中值定理 (Cauchy),在拉格朗日中值定理中，将曲线y=f (x)用参数方程表示出来就可得到中值定理的另一种形式。

设对应于P点，t = ，则,如果将上面的结果推广到真正具有任意性的两个函数中去，就成为柯西中值定理了.,定理 (柯西中值定理),设 (1) f (x), g(x)C([a, b]);,(2) f (x), g(x)在(a, b)内可导，且g(x)0,,则至少存在一点(a, b)，使,证：令F(x)=(f (b)f (a))g(x)(g(b)g(a))f (x), x[a, b],则 F(x)C([a, b]), F(x)在(a, b)内可导.,又 F(a)=F(b)=g(a) f (b)g(b) f (a),故 F(x)在[a, b]上满足罗尔定理条件，,于是 至少存在一点 (a, b) 使,即,亦即,(a, b),例10.设x1与x2同号, 证明：,其中,  在x1与x2之间.,证：由于x1与x2同号, 故 x=0不在x1与x2之间.,令,则 f (x), g(x) 在由x1，x2为端点构成的区间内满足柯西中值定理条件，从而有,整理得,, ( 在x1与x2之间),返回,。