复变函数与积分变换资料十七主 题：第八章 拉普拉斯变换第一节 拉普拉斯变换的概念学习时间：2013年1月21日－1月27日内 容：通过上一章的学习，我们了解到傅里叶变换的存在条件是比较强的，要求被变换的函数不仅在有限区间上满足狄利克雷条件，而且要求函数在上绝对可积这个条件实际上很苛刻，很多常见的函数甚至是很简单的函数，如多项式函数、正弦函数、余弦函数、单位阶跃函数等都不满足这个存在条件，致使傅里叶变换的应用受到很大的限制本章将介绍一种应用较为广泛、能够克服傅里叶变换不足的积分变换—拉普拉斯变换本周学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、深刻理解拉普拉斯变换及其逆变换的概念，注意拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别、联系2、理解拉普拉斯变换的存在定理基本概念：拉普拉斯变换及其逆变换知识点：拉普拉斯变换的存在定理第一节、拉普拉斯变换的概念（要求达到“领会”层次）一、拉普拉斯变换定义：设函数在时有定义，且含复参变量s的积分在s的某区域内收敛，则称由这个积分确定的函数为的拉普拉斯变换，简称为的拉氏变换，并记为，即在式子中，称为的像函数；称为的像原函数或的拉氏逆变换，记为事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系：令，则由此可以知道，的拉普拉斯积分变换就是的傅里叶积分变换，首先通过单位阶跃函数使函数在的部分为0，其次对函数在的部分乘一个衰减的指数函数以降低其增长速度，这样就有希望使函数满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换。
典型例题：例1、求单位阶跃函数的拉氏变换解：根据拉氏变换的定义，这个广义积分在时收敛，而且有所以例2、求指数函数的拉氏变换（k为实数）解：所以例3、求正弦函数为实数）的拉氏变换解：同理可求得余弦函数为实数）的拉氏变换二、拉普拉斯变换的存在定理若函数满足：（1）在的任一有限区间上分段连续；（2）当时，的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数及，使得，则的拉氏变换在半平面上一定存在，并且在的半平面内，为解析函数证明：设，则，所以由，可以知道右端积分在上半平面上收敛关于解析性的证明省略注1：大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在注2：存在定理的条件是充分但非必要条件对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在三、单位脉冲函数的拉氏变换对函数，若在t=0处有界，则，且但对脉冲函数，由于因此那么在拉氏变换的定义中，积分式是理解成还是理解成是个问题为了讨论这一情况，将函数在时有定义扩充为及的一个邻域内有定义这样拉氏变换的定义应理解为，即典型例题：例、求单位脉冲函数的拉氏变换解：一般地通常记，第1页 共3页。