返回,后页,前页,2,复合函数微分法,凡是学过一些微积分的人,没有一个会对,复合,函数微分法的重要性产生怀疑,.,可以毫不夸,张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在,计算,导数或偏导数时寸步难行,.,二、复合函数的全微分,返回,一、复合函数的求导法则,一、复合函数的求导法则,设函数,(1),定义在,平面的区域,D,上,函数,(2),定义在,xy,平面的区域,上,.,若,则可构成,复合函数,:,(3),其中,(1),为内函数,(2),为外函数,(,x,y,),为中间变量,(,s,t,),为自变量,.,下面将讨论复合函数,F,的可微性,并导出,F,的偏导,数与全微分的复合运算法则,.,定理,17.5,若,在点,可,微，,在点,可微,则,关于,s,与,t,的偏导数分别为,复合函数,在点,可微，且,(4),是,(6),证,由假设,在点,可微,于,(5),(7),现把,(5),(6),两式代入,(7),式，得到,其中,时,又由,在点,可微,故有,其中,时，,并可补充,定义,:,当,时,整理后又得,其中,(8),并求得,z,关于,s,和,t,的偏导数公式,(4),从而也有,以及,于是在,(9),(10),两式中,当,时,有,公式,(4),也称为,链式法则,能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成,立例如,注,如果只是求复合函数,关于,s,或,t,的偏导数,则上述定理中,只,须具有关于,s,或,t,的偏导数就够了,.,因为以,或,除,(7),式两边,然后让,或,也能得,到相应的结果,.,但是对外函数,的可微性假设是不,为内函数，则得到以,t,为自变量的复合函数,由,1,习题,6,已知,但,在点,(0,0),不可微,.,若以,为外函数,这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微,这个条件,.,解,所讨论的复合函数以,(,u,v,),为中间变量,(,x,y,),为,自变量,并满足定理,17.5,的条件,.,故由,关于自变量,的偏导数为,根据公式,(4),得到,例,2,因此有,于是,解,复合后仅是自变量,t,的一元函数于是,例,3,的复合函数对,t,求导数,(,这种导数又称为“全导数”,);,求偏导数二者所用的符号必须有所区别,例,4,用多元复合微分法计算下列一元函数的导数,:,注,上面第一个等式中，左边的,是作为一元函数,右边的,是外函数,(,作为,u,v,t,的三元函数,),对,t,则有,由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数导数,的问题,如今可用多元复合函数的链式法则来计算,.,解,令,由于,而实用的写法,(,省去了引入中间变量,):,说明,上面的解法是通过引进中间变量,后,借,助链式法则而求得的,;,上述过程还有一种比较简洁,证明,:,在极坐标系里,只是,的函数,为此设,证,本题即是要证明,:,经,极坐标变换后，,满足,例,6,设在,上的可微函数,满足方程,是,的函数,从而,在,上的,极坐标系里与,无关,于是 只,二、复合函数的全微分,分为,(11),如果,作为中间变量,又是自变量,的可微函数,则由定理,17.5,知道,复合函数,是,可微的,其全微分为,将,(13),式代入,(12),式,得到与,(11),式完全相同的结,果,这就是多元函数的,一阶,(,全,),微分形式不变性,.,利用微分形式不变性,能更有条理地计算复合函数,的全微分,因此,并由此得到,复习思考题,1.,在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一,个结果,:,数与指数函数求导数而得到的,.,有人认为这是偶然,的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一,种看法是正确的？请说出依据,的复合函数,.,考察下面计算复合函数偏导数的一种,写法,:,试问这个写法有何不妥？怎样纠正？,2.,设由可微的,得,。