正态总体的置信区间

第四节正态总体的置信区间与其他总体相比，正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛在构造正态总体 参数的置信区间的过程中，t分布、X2分布、F分布以及标准正态分布N（0,1）扮演了重要角 色.本节介绍正态总体的置信区间，讨论下列情形：1. 单正态总体均值（方差已知）的置信区间；2. 单正态总体均值（方差未知）的置信区间；3. 单正态总体方差的置信区间；4. 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间；5. 双正态总体均值差（方差未知但相等）的置信区间；6. 双正态总体方差比的置信区间.注：由于正态分布具有对称性，利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为1-a的置 信区间，其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★引言★单正态总体均值（方差已知）的置信区间★例1 ★例2★单正态总体均值（方差未知）的置信区间★例3 ★例4★单正态总体方差的置信区间 ★例5★双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★例6★双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★例7 ★例8★双正态总体方差比的置信区间 ★例9★内容小结 ★课堂练习★习题6-4内容要点一、 单正态总体均值的置信区间（1）设总体X〜N（^,b2）,其中Q 2已知，而目为未知参数，X, X，…,X是取自总体X的一 个样本.对给定的置信水平1-a ,由上节例1已经得到|1的置信区间"— b — b ）X 一 u , X + u I," a/2 十〃 a/2 J〃 J二、 单正态总体均值的置信区间（2）设总体X〜N（^,b2）,其中目,b2未知，X1，X2，...,X是取自总体X的一个样本.此时可用b 2的无偏估计S 2代替b 2，构造统计量"丁 X 一 HT = ,S l、n从第五章第三节的定理知T = 一兰〜t（n -1）.S/5对给定的置信水平1-a,由r x-口 ”〕P\ — t /2（n - D < s / 厂 =1 - a,I - S -P jx -1 2(n -1) •了 < 日< X +1 2(n -1)- 因此，均值目的1-a置信区间为(- S -X -1 (n-1) ,X +1 (n-1) •、 a/2

设X是总体N0 ,a 2)的容量为n的样本均值，y是总体N0 ,a2)的容量为n的样本 1 1 1 2 2 2均值，且两总体相互独立，其中a12,a2已知.因X与y分别是R1与R2的无偏估计，从第五章第三节的定理知(X - y)-(捋-%)〜N(0,1), Ai''a 2 / n +a2 / n 对给定的置信水平1-a,由 1122< ua/2> =1-a,(X二 y)―(四，一四2) "a： /n +a2 /n2可导出耳-四2的置信度为1-a的置信区间为, T、X - y - U .」写+寒,X - y + u .阵+寒a/2、1 % 七 a/2 ° % 七五、_双正态总体均值差的置信区间(2) _设X是总体N(v ,a2)的容量为n的样本均值，y是总体N(日,a2)的容量为n的样本1 1 2 2均值，且两总体相互独立，其中H1, R2及a未知.从第五章第三节的定理知 rr (X - Y ) 一(出一匕)T = ] 1 ~ t (n1 + n2 一 2).SWV 1/ ni + 1/“2其中 S 2 = ni - 1 S 2 + n2-1 S 2.w n + n - 2 1 n + n - 2 2对给定的置信水平1-a，根据t分布的对称性，由尸{IT kt (n + n 一2)} = 1-a,可导出耳-%的1 -a置信区间为(X - Y) -1 (n + n - 2)) - S ! — + 1a/2、1 2 w}| n,(X - Y) +1 (n + n - 2)) - S !— + —.a/21 2 w七 n n六、双正态总体方差比的置信区间设S2是总体N0 ,a2)的容量为n1的样本方差，其中四］,a：,四2,a2未知.S;与S2分别是1 1 1方差，且两总体相互独立, 从第五章第三节的定理知S2是总体N(R2,a2)的容量为n2的样本 a2与a2的无偏估计,对给定的置信水平1-a ,由2a2ka1 7S2嘉〜F(匕-1, n2 -1),2(n 一 1,n 一 1) < F < F (n 一 1,n 一 1)} = 1 -a,1 S 2P < - 1 =1-a,——-老"乌/2(n1 - 1，〃2-1)S；——.写]F1-a/2(〃1-1，〃2-1) S2 7例题选讲单正态总体均值(方差已知)的置信区间例1 (E01)某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额，随机访问了 100名旅游者，得 知平均消费额兄=80元.根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，且标准差a = 12元，求 该地旅游者平均消费额目的置信度为95%的置信区间.解 对于给定的置信度1-a =0.95, a = 0.05, a/2 = 0.025,查标准正态分布表〃0025 = 1.96,将数据n = 100, x = 80, a = 12, 〃0025 =1.96,代入X± •当计算得R的置信度为95%的置信区间为(77.6,82.4),即在已知a = 12情形a/2 板 n下，可以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在77.6元至82.4元之间.例2设总体X〜N(^,a 2),其中R未知，a 2 = 4. X1， ,X为其样本. ⑴ 当n = 16时，试求置信度分别为0.9及0.95的目的置信危间的长度.(2) n多大方能使目的90%置信区间的长度不超过1?(3) n多大方能使目的95%置信区间的长度不超过1?解(1)记R的置信区间长度为A,则A = (X + u侦/2 ・b / Jn) - (X - u侦/2 ・b /\n) = 2%/2 ・o Vn,于是当 1-a = 90% 时，A = 2x 1.65x 2/<16 =1.65,当 1-a=95% 时，A = 2 x 1.96 x 2 / .16 = 1.96.(2) 欲使A< 1, 即2ua/2 9 /如< 1, 必须n > (2。