我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形,解说有关的计数问题 例1 左下图中共有多少个面?多少条棱? 分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形 前、后看各有１个面，左面看有１个面,右面看有2个面,上面看有２个面,下面看有1个面因此共有 1＋１+1＋２＋2＋1= 8（个）面 前后方向的棱有６条，左右方向的棱有６条,上下方向的棱也有6条，因此共有棱６+6+6=18(条） 例２ 右图是由1８个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积 分析与解:如果一面一面去数,那么虽然可以得到答案,但太麻烦,并且容易出错仔细观测会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与背面的面积分别相等 如上图所示,可求得表面积为 (9+7+8)×2=4８(厘米2） 例３ 右图是由2２个小正方体构成的立体图形,其中共有多少个大大小小的正方体?由两个小正方体构成的长方体有多少个？ 分析与解:正方体只也许有两种: 由1个小正方体构成的正方体，有２２个； 由8个小正方体构成的2×２×2的正方体,有4个 因此共有正方体 2２＋4=2６(个）。
由两个小正方体构成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有１３个，左右位有13个，前后位有14个,共有１3＋1３+１4=40(个） 例4 有一种棱长为５厘米的正方体木块,从它的每个面看均有一种穿透的完全相似的孔(见下页左上图),求这个立体图形的表面积 分析与解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算我们可以将这个立体图形当作由8个棱长为2厘米的正方体和1２个棱长为1厘米的立方体粘合而成如右上图所示，八个棱长为２厘米的正方体分别在8个顶角,１2个棱长1厘米的正方体分别在１2条棱的中间由于每个小正方体均有2个面分别粘接两个较大正方体,相对于不粘接，减少了表面积４厘米２ ,因此总的表面积为 （2×2×６）×8＋（1×1×６）×12－４×１2＝216(厘米2) 例５ 右图是由120块小立方体构成的4×５×6的立方体，如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？ﻫ 分析与解：一种长方体有8个角、12条棱、６个面，角上的８个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。
根据上面的分析得到: 三面涂有红色的小立方体有８块; 两面涂有红色的小立方体，由于每条棱上要去掉两头的2块，故有［(4－2)＋(5-2）+(6－2)]×4=３6（块）; 一面涂有红色的小立方体，由于每个面上要去掉周边一圈的小立方体,故有 ［（4-2）×(5－2）＋(4-2）×（6-２）＋（5-2）×（６-2）］×２＝ 52(块）一般地，当a，b，c都不不不小于２时，对于ａ×b×c的立方体: 三面涂有红色的小立方体有８块; 两面涂有红色的小立方体的块数是: [(a-2)＋(b－２）＋（c-2)]×4； 一面涂有红色的小立方体的块数是:[(ａ-２）×（b-2)＋(a-2）×(c-2）＋（b-２）×（c-2）]×2; 没有被涂上红色的小立方体的块数是： （a-２）×(b-2）×（c-2) 例6 给一种立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每种颜色涂两个面,共有多少种不同涂法？(两种涂法,通过翻动能使多种颜色的位置相似,觉得是相似的涂法 分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两状况 （1)两个红色面相对此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法 (2)两个红色面相邻。
此时,除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外,当蓝黄相对时，按右图摆放,底面有蓝或黄两种涂法 因此共有6种不同涂法 练习13 1.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？ ２.有３0个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成红色的表面积 3.有一种正方体,红、黄、蓝色的面各有两面在这个正方体中,有某些顶点是三种颜色都不同的面的交点,这种顶点最多有几种?至少有几种? ４.将一种表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米３ 的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块求本来长方体的体积 5．将一种5×5×5的立方体表面所有涂上红色,再将其分割成1×1×1的小立方体,取出所有至少有一种面是红色的小立方体,构成表面所有是红色的长方体那么,可构成的长方体的体积最大是多少？ 6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一种直穿木块的洞,洞口呈边长为1分米的正方形(见左下图）求挖洞后木块的体积及表面积 7．把正方体的六个表面都划提成9个相等的正方形(右上图)用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形,规定有公共边的正方形染不同的颜色，那么,用红色染的正方形最多有多少个?答案与提示 练习１3 1.９个面,21条棱。
2.5６米２ 解：４×4+(１+2＋３+4)×４=56（米2) ３．8个；２个 提示:颜色相似的面两两相对时有8个； 颜色相似的面两两相邻时有2个 4．４5厘米３ 解:由3块小立方体构成的长方体体积为１×1×３厘米3,故本来长方体的体积为 (1+２)×(1+2)×（３+２)＝４５(厘米3) 5．96解:至少有一种面是红色的小立方体有53-３3=9８(个），其中三面红的8个,两面红的３6个,一面红的5４个可以构成4×４×6的表面全是红色的长方体,体积是４×4×６=９6 ６.２0分米３；72分米３ 7.2２个 解：一种面最多有5个方格可染成红色(见左下图）由于染有５个红色方格的面不能相邻,可以相对，因此至多有两个面可以染成５个红色方格 其他四个面中,每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图)由于染有４个红色方格的面也不能相邻,可以相对，因此至多有两个面可以染成４个红色方格最后剩余两个相对的面,每个面最多可以染2个红色方格(见右上图) 因此,红色方格最多有5×2+4×2＋2×2＝22（个)第1４讲 立体图形(二） 本讲重要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置,提高同窗们的看图能力和空间想象能力。
例1 在下面的三个图中,有一种不是右面正四周体的展开图，请将它找出来 分析与解：观测四周体容易看出,每个顶点都是三个面的交点，即四周体的每个顶点只与三个面相连，而在图2中,“中心点”与四个面相连,因此图2不是正四周体的展开图 例２ 在下面的四个展开图中，哪一种是右图所示立方体的展开图? 分析与解：观测立方体图形,A，B,C三个面两两相邻,即三个面有一种公共顶点再看四个展开图,图1中A与Ｃ不相邻,是相对的两个面,不合题意；图３中C与B是相对的两个面，也不合题意;图２、图4中Ａ，B,C三个面都相邻,还需进步鉴别我们看下面的两个立方体图形： 这两个图虽然相似，但是A,B，C三个面的相对位置不同 我们可以借助一种现成工具——右手，协助判断三个面的相对位置伸出右手，让除大姆指外的四指从Ａ向B弯曲,此时,左上图中C位于大姆指指向的方向,右上图中C位于大姆指指向的相反方向因此两个图Ａ，B,C三个面的相对位置不同用这种措施判断三个面相对位置的措施称为右手措施这也是建立空间坐标系的措施） 用右手措施很容易判断出，图4是所求的展开图 例3 右图是一种立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重叠？ 分析与解：直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景,也可以得到答案。
目前我们从另一种角度来分析在左下图所示的立方体上观测８个顶点,其中与A点不在一种 表面上的只有Ｂ点,也就是说,沿着表面走,这两个点的路程最远在展开图上,这两个点正好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点在上页右下图中，1，2,6点都距9点最远，也就是说，1,2,６点都与9点不在一种表面上而与9点不在一种表面上的只有一种点,因此1，２,6点是同一种点，即折叠成纸盒时,1，2，6点重叠 例4 有两块六个面上分别写着1～6的相似的数字积木，摆放如下图在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少? 分析与解:由两图看出,5与１,3,4,6都相邻，因此5的对面只能是２；对右上图使用右手措施,四指由5向４弯曲，大姆指指向６，将5,4,6的这个关系移到左上图，立即得到1的对面是４，３的对面是6 5×2=10，1×４＝4，3×6=１８， 相对两个面上的数字的乘积最小是4 例５ 有五颗相似的骰子放成一排(如下图），五颗骰子底面的点数之和是多少？ 分析与解:五颗骰子有三颗露出了5，并且5和1，2,３,6相邻，因此5的对面是4；2与1，3,5相邻，由于5与4相对,故2也与4相邻,因此2的对面是6；剩余的1与3必相对。
五颗骰子底面的点数从左至右依次是4,６,3,1,4,其和为4＋6+３+1＋4＝１８ 例6 用一平面去截一种立方体，把立方体截成两个部分,截口是一种矩形的问：这两个部分各是几种面围成的?分析与解：截的措施有多种，因此一定要分状况讨论截口通过1条棱是１种状况，截口通过2条棱是1种状况，截口不通过任何棱有2种状况因此共有下图所示的四种也许 练习14 １.在下列各图中,哪些是正方体的展开图?2.将左下图沿虚线折成一种立方体，它的相交于一种顶点处的三个面上的数字之和的最大值是多少?最小值是多少? ３.有四枚相似的骰子,展开图如右上图（1)问:在右上图（２）中,从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点数之和是多少？ 4.将一种立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形,一共要剪开几条棱? 5.左下图是图（1）(2）(3)中哪个正方体的展开图？ 6.在一种立方体的六个面上分别写有A,Ｂ，C，Ｄ,E五个字母,其中两个面写有相似的字母下图是它的三个视图问：哪个字母被写了两遍？ ７．右图中第1格内放着一种立方体木块，木块六个面上分别写着A,B，Ｃ,D，Ｅ，F六个字母,其中A与Ｄ,B与Ｅ,Ｃ与F相对。
如果将木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚动到第２1个格时,木块向上的面写的是哪个字母? 答案与提示 练习14 １.(２）（3）(６)（8）（9）(1２)（１4）(16）（17)（１９)(２0)共１1个 2．13;8 提示：最大是6＋4+３＝13;最小是１+2+５=8 ３.１2 提示:用右手措施可得，第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为３，6和1 4．7条 提示：每剪开一条棱,展开图的周长就会增长2条棱长展开图的周长是1４条棱长,因此剪开了１4÷2＝７(条）棱 注:沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开７条棱也就是说,无论哪种展开图，周长都等于1４条棱长 5.图(1) 提示：图(2)正面有两个相连的阴影的正方形,展开图中找不到，因此不是图(2）；图（3)正面与右侧面各有两个阴影正方形，这四个阴影正方形没有相邻的边,而展开图中有两个阴影正方形的面,折叠后有两个阴影正方形相邻，因此不是图(3） ６.C 解:假设C只写了一遍由于Ｃ与A，B，D，E都相邻，因此被写了两遍的。