向量五心终极版本（老师）向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇一、五心的概念介绍(1)重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；(2)垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距 离相等；(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等5)旁/心一一三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点二、 “重心”的向量风采uuur uuur uuur【命题1】已知G是\ABC所在平面上的一点，若GA + GB + GC = 0，则G是 的重心．如图⑴ .uuur uuur uuur uuur uuur【解析】 由题意AP = X (AB + AC)，当Xw (0, + 8)时，由于X (AB + AC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过AABC的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采命题 3】P是△ ABC所在平面上一点PA - PB = PB - PC = PC - PA则 P 是 △ ABC的垂心．uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur【解析】由 PA-PB = PB-PC，得PB .(PA — PC) = 0，即 PB-CA = 0 ,所以uuur uuur uuur uuur uuur uuurPB丄CA •同理可证PC丄AB , PA丄BC . A P是△ ABC的垂心•如图⑶.B【命题4】已知O是平面上一定点，A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足uuur uuur OP = OA + X( uuurAB-uur AB cos Buur 、AC+ -uur AC cos C垂心.,Xw (0, + 8)，则动点P的轨迹一定通过△ ABC的图⑴ 图⑵【命题2】已知O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足 uuur uuur uuur uuurOP = OA + X (AB + AC)，九w (0,+ 8)，则P的轨迹一定通过△ ABC的重心.解析】由题意 AP =Xuuuruur \ABAC-uuu ■ + -uur AB cos BAC cos C丿uuuruuur-BC = 0,uuurABuur AB cos Buur 、AC+ -uur AC cos C，由于uuur uuur uuur uuur” AB - BC即-uur AB cos BAC - BCuur AC cos Cuuuur uuur uuur uun|BC - |CB二0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在【命题6】已知O是平面上一定点，A B, C是平面上不共线的二个点，动点P满足过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过AABC的垂心，如图⑷.九w (0, + X)，则动点P的轨迹一定通过△ ABC的内心.uuur uuur 鹉巴 AB AC op = oa+九衣碍+ruuurUAB lAC丿解析】uuur・••当九w (0, + s)时，AP表示ZBAC的平分线三、“内心”的向量风采【命题5】 已知I为\ABC所在平面上的一点，且AB二c， AC二b， BC二a •若 uur uur uuraIA+bIB+cIC 二 0，则 I 是△ ABC 的内心.uuur uuur 亠并亠v吧 AB AC 由题意得AP =九ruuur + 7«半[AC J所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ ABC的内心，如图⑹.【解析】：TB = IA + AB , IC = \A + AC四、“外心”的向量风采 uuuur uuuur uuuur【命题7】 已知O是△ ABC所在平面上一点，若OA2 = OB2 = OC2，则O是△ ABC的外心.uuur uuur• bAB + cAC =uur uuurAC-AB+图uur uuur uuur则由题意得(a + b + c) IA + bAB + cAC 二 0,uuur uurAB -AC =uur | |uurAC - AB(uur uur \AB ACi u nr 丰 uur| | I | |AB ACOOCMpB(uuuruur、uuuruurbcABACAB..rLIHur 与AI =1 H _l_ 1 11 11 V*a+b+cd ABI|AC| JlABluuurAC uuur uuuruur分别为AB和AC方向上的单位向 AC解析】图⑺uuur uuur uuur若 OA2 = OB2 = OC2,uur uuur贝 g OA2 = OB2 =uurOC2图⑻uurOA =uuur uurOB = OC△ ABC的外心，如图(7)。
量，uur・•・AI与ZBAC平分线共线，即AI平分ZBAC .同理可证：BI平分ZABC , CI平分ZACB •从而I是△ ABC的内心，如图⑸.【命题7】已知O是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满引进单位向量，使条件变得更简洁如果记ab，bgca ► 一 !»■的单位向量为ei，e2，e3uuur uuur( uuruur 、uuurOB+OCABAC足OP = +九-UUBP +-uur 2AB cos BAC cos CV丿九w （0, + 8），则动点P的轨迹一定通过△ ABC的外心刚才O是AABC内心的充要条件可以写成OA - (e + e ) = OB • (e + e ) = OC - (e + e ) = 01 3 1 2 2 3 ， O 疋△ABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0若则uuur uuur解析】由于OB + OC2过BC的中点当九w （0, + 8）时，( uurAB-UUBP AB cos Buur 、AC+ -uur AC cos CO是AABC的内心,S : S : S = a： b: c 则 A BOC AAOC AAOBuuru示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。
所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ ABC的外心，如图⑻故 aOA + bOB + cOC = 0或 sin AOA + sinBOB + sin COC = 0uuur uuur uuur uuur uuur uuur rI AB I PC + I BC I PA+ I CA I PB = 0 o P 是 AABC 的内心；uuur uuur向量九(_AL + JAT)(九丰0)所在直线过AABC的内心(是ZBAC的角平分线所在直线)；IAB I I ACI三、三角形性质总结三、经典例题训练题1 , O 是 AABC的重心O OA + oB + oC = 0；例10 •若O、H分别是AABC的外心和垂心.求证若 O 是 AABC 的重心，则 S ABOC = S AAOC = S AAOBPG" = 1( PT +曙+皑)o G为AABC的重心.2 . O 是 AABC的垂心o oA • oB = oB • oC = oC • oA丄s3 AABC故 OA + OB + OC = 0• 1 0 ・ ・OH = OA + OB + OC •证明若AABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD, CD.若O是AABC （非直角三角形）的垂心，则S ABOC： S AAOC： S AAOB =/ AD 丄 AB , CD 丄 BC .又垂心为 H,AH 丄 BC ,故 tan AOA + tanBOB + tanCOC = 03 . O 是 AABC的外心O lOAimOBITOCI (或OA2 = OB2 = OC2)CH 丄 AB ，/.AH#CD, CH#AD,若O是AABC的外心则/四边形AHCD为平行四边形,著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：S : S : S = sinZBOCsin/AOCsinZAOB= siri2A:siri2B:siri2CABOC AAOC AAOB故 sin 2AOA + sin 2BOB + sin 2COC = 0•/ AH = DC = DO + OC，故 OH = OA + AH = OA + OB + OC •1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；ABAB AC BA BC CA CB_、4.0 是内心 AABC 的充要条件是 OA •(IAB「AC)= OB •(IBAI - IBCI)= " '(ICAI - ICBI)= °点P —定为三角形ABC的A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂 心的距离是重心到外心距离的2倍。
欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11 •设O、G、H分别是锐角AABC的外心、重心、垂心. 求证OG =1OH3证明 按重心定理G是AABC的重心o OG = 3（OA + OB + OC）按垂心疋理OH = OA + OB + OC 由此可得OG = - OH -3补充练习1 •已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP = - (-OA + -OB +2OC)，则C.重心 D.AB边的中点1 1 11. B 取 AB边的中点 M 则OA + OB 二 2OM，由 OP =- （-OA + — OB +2OC）可3 ^2 2得3 OP二3OM + 2MC，二MP = -MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分3点，且点P不过重心，故选B.umur uuuLur umjur uuuuir2 •在同一个平面上有AABC及一点0满足关系式：OA 2 + BC2 = OB2 + CA2二 uuuuur uuLurOC2 + AB 2，则O为 AABC 的 （D ）A 外心 B内心C 重心D 垂心uur uur uur2 •已知△ ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA + PB + PC二0，则P为AABC 的3 •已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP = OA + X （AB + AC），则P的轨迹一定通过AABC的 （C ）A 外心 B内心。