培优提高训练】苏科版九年级数学上册 第一章 一元二次方程 典型例题解析一、解答题1.解方程：（1）2x2+x﹣3=0（用公式法）（2）（x﹣1）（x+3）=12． 2.已知 α , β 是关于x的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 1α + 1β=-1 ，求m的值. 3.已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+14k2+1=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1、x2 ， 且满足|x1|+|x2|=4x1x2﹣5，求k的值． 4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=－3时，求方程的根. 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．（1）求a的值； （2）求出该一元二次方程的两实数根． 6.若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-ba ， x 1x2=ca ， 把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值．（2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2 ， 且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值． 8.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？ 9.已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？ 10.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 11.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。
为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？ 12.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长； （2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？ 二、综合题13.解下列方程： （1）(2x-1)2=4 （2）x2-4x+1=0 （用配方法） （3）x2+2x=4． （4）2(x-3)2=x(x-3) 14.如图所示，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形．（1）用 ， ， 表示纸片剩余部分的面积； （2）当 ＝6， ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长． 15.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0， （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围． 16.商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题． （1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元； （2）设销售价定为x元时，商品每天可销售________件，每件盈利________元； （3）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到1500元． 17.某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服，由于临近换季，为了尽快清仓，回收资金，对价格经过两次下调后，以每件320元的单价对外销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）请按此调幅，预测第三次下调后的销售单价是多少元？ 18.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 19.随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加． （1）该市的养老床位数从2019年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？ 20.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t（s）（0＜t＜10）．DGGE=HCAH 解答下列问题： （1）填空：AB=________ cm； 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础2）当t为何值时，PE∥BD； （3）设四边形APFE的面积为y（cm2）①求y与t之间的函数关系式；②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE= 825 S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 21.已知关于x的一元二次方程 有两个非零实数根． （1）求m的取值范围； （2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由． 22.为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2019年的绿色建筑面积约为950万平方米，2019年达到了1862万平方米．若2019年、2019年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率； （2）2019年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年我市能否完成计划目标？ 答案解析部分一、解答题1.【答案】解：（1）2x2+x﹣3=0（用公式法）∵a=2，b=1，c=﹣3b2﹣4ac=25＞0x=-1±254∴x1=1,x2=-32；（2）化为一般形式，得：x2+2x﹣15=0（x+5）•（x﹣3）=0（x+5）=0或（x﹣3）=0∴x1=﹣5，x2=3． 2.【答案】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴ Δ=(2m+3)2-4m2>0 ，解得： m>-34 ，依题意得： α+β=-(2m+3)，αβ=m2 ，∴ 1α + 1β=α+βαβ=-(2m+3)m2=-1 .解得： m1=-1，m2=3 ，经检验： m1=-1，m2=3 是原方程的解，∵ m>-34 ，∴ m=3 . 3.【答案】解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△=（k+1）2﹣4（14k2+1）=2k﹣3≥0解得：k≥32；（2）∵k≥32，∴x1+x2=k+1＞0．又∵x1•x2=14k2+1＞0，∴x1＞0，x2＞0，∴|x1|+|x2|=x1+x2=k+1．∵|x1|+|x2|=4x1x2﹣5，∴k+1=4（14k2+1）﹣5，∴k2﹣k﹣2=0，∴k1=﹣1，k2=2，又∵k≥32，∴k=2． 4.【答案】解：（1）∵当m=3时，△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=-3． 5.【答案】解：（1）∵x1+x2=a，x1x2=2，又x1x2=x1+x2﹣2，∴a﹣2=2，a=4；（2）方程可化为x2﹣4x+2=0，∴（x﹣2）2=2，解得：x﹣2=2 或x﹣2=﹣2，∴x1=2+2，x2=2﹣2． 6.【答案】解：（1）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6，当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7，将x=7代入原方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或m=4，当m=10时，方程为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或x=15，∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时，方程为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或x=7，此时三角形的周长为：7+7+3=17． 7.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣112；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m。
