牛吃草问题 教学目标： 1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 知识点拨： 英国科学家牛顿在他的普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草， 牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题” “牛吃草”问题主要涉及三个量：“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不变 的速度均匀生长，所以草的总量不定 “牛吃草”问题是小学应用题中的难点 解“牛吃草”问题的主要依据：解“牛吃草”问题的主要依据： 草的每天生长量不变； 每头牛每天的食草量不变； 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量每天生长量天数 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： 设定 1 头牛 1 天吃草量为“1” ； 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)； 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)； 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度 “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本 质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题 例题精讲： 板块一、一块地的“牛吃草问题”板块一、一块地的“牛吃草问题” 【例【例 1】】 青青一牧场，牧草喂牛羊； 青青一牧场，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。
放牛二十七，六周全吃光 改养廿三只，九周走他方； 改养廿三只，九周走他方； 若养二十一，可作几周粮？ 若养二十一，可作几周粮？ （注：“廿”的读音与“念”相同廿”即二十之意注：“廿”的读音与“念”相同廿”即二十之意 【解说】题目翻译过来是 ： 一牧场长满青草，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者 23 头牛 9 个星期可以吃完 若是 21 头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长） 【解说】题目翻译过来是 ： 一牧场长满青草，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者 23 头牛 9 个星期可以吃完 若是 21 头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长） 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，27 头牛吃 6 周共吃了份；23 头牛吃 9 周共吃了276162 份第二种吃法比第一种吃法多吃了份草，这 45 份草是牧场的草23 920720716245 周生长出来的，所以每周生长的草量为，那么原有草量为：963453151626 1572 供 21 头牛吃， 若有 15 头牛去吃每周生长的草， 剩下 6 头牛需要(周)可将原有牧草吃完，72612 即它可供 21 头牛吃 12 周 【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃头牛吃 20 天，可供天，可供 15 头牛吃头牛吃 10 天供天供 25 头牛可吃几天？头牛可吃几天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，10 头牛吃 20 天共吃了份；15 头牛吃 10 天共吃了1020200 份第一种吃法比第二种吃法多吃了份草，这 50 份草是牧场的草15 1015020015050 天 生 长 出 来 的 ， 所 以 每 天 生 长 的 草 量 为， 那 么 原 有 草 量 为 ：20101050105 200520100 供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要(天)可将原有牧草吃100205 完，即它可供 25 头牛吃 5 天 【例【例 2】】牧场上有一片匀速生长的草地，可供牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃头牛吃 6 周，或供周，或供 23 头牛吃头牛吃 9 周，那么它可供多少头 牛吃 周，那么它可供多少头 牛吃 18 周？周？ 【解析】设 1 头牛 1 周的吃草量为“1” ，草的生长速度为，原有草量为(23 9276)(96)15 ，可供（头）牛吃 18 周(2715)67272181519 【巩固】 有一块匀速生长的草场， 可供【巩固】 有一块匀速生长的草场， 可供 12 头牛吃头牛吃 25 天， 或可供天， 或可供 24 头牛吃头牛吃 10 天 那么它可供几头牛吃天 那么它可供几头牛吃 20 天？天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，那么天生长的草量为，所以每天251015122524 1060 生长的草量为；原有草量为：6015424410200 20 天里，草场共提供草，可以让头牛吃 20 天2004202802802014 【巩固】 一牧场放牛【巩固】 一牧场放牛 58 头，头，7 天把草吃完；若放牛天把草吃完；若放牛 50 头，则头，则 9 天吃完假定草的生长量每日相等，每头 牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛 天吃完假定草的生长量每日相等，每头 牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛 6 天可以把草吃完?天可以把草吃完? 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 个单位，则每天生长的草量为 ：，原有草(509587)(97)22 量为：，(头)509229252(252226)664 【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果 要 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变） 【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果 要 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变） 【解析】设一只猴子一周吃的野果为“ ” ，则野果的生长速度是，原有的野1(21 1223 9)(129)15 果为，如果要 4 周吃光野果，则需有只猴子一起吃(23 15)9727241533 【例【例 3】】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的 草可供 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的 草可供 20 头牛吃头牛吃 5 天，或可供天，或可供 15 头牛吃头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃天照此计算，可以供多少头牛吃 10 天？天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，那么每天自然减少的草量为：，原有 2051566510 草量为：；10 天吃完需要牛的头数是：(头)2010515015010105 【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草 可供 【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少如果某块草地上的草 可供 25 头牛吃头牛吃 4 天，或可供天，或可供 16 头牛吃头牛吃 6 天，那么可供多少头牛吃天，那么可供多少头牛吃 12 天天？ 【解析】设 1 头牛 1 天吃的草为“1” 牧场上的草每天自然减少 ； (254166)(64)2 原来牧场有草，(252)4108 12 天吃完需要牛的头数是：(头)或（头） 108 1227(108122)127 【例【例 4】】一块匀速生长的草地，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等 于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？ 一块匀速生长的草地，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等 于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，由于一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，所以 100 只羊 吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天那么每天生长的草量为，原有 162020 12201210 草量为：161020120 10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于 25 头牛一天吃的草量；25 头牛中，若有 10 头牛去 吃每天生长的草， 那么剩下的 15 头牛需要天可以把原有草量吃完， 即这块草地可供 10120158 头牛和 75 只羊一起吃 8 天 巩固：有一片草场，草每天的生长速度相同。
若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将 草吃完(4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量)那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将 草吃完? 巩固：有一片草场，草每天的生长速度相同若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将 草吃完(4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量)那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将 草吃完? 【解析】“4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量” ， 所以可以设一只羊一天的食量为 1， 那么 14 头牛 30 天吃了单位草量，而 70 只羊 16 天吃了单位草量，所以144301680 16701120 草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，(16801120)(3016)40112040 16480 所以如果安排 17 头牛和 20 只羊， 即每天食草 88 草量， 经过天， 可将草吃完480(8840)10 【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同现在这片牧草可供【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同现在这片牧草可供 20 头牛吃头牛吃 12 天，或可供天，或可供 60 只羊吃只羊吃 24 天。
如果 天 如果 1 头牛的吃草量等于头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么只羊的吃草量，那么 12 头牛与头牛与 88 只羊一起吃可以吃几天？只羊一起吃可以吃几天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 “1” ，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于60158822 头 牛 的 吃 草 量 ， 所 以 草 的 生 长 速 度 为， 原 有 草 量 为(152420 12)(2412)10 ，12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃（天）(2010) 12120120(122210)5 模块二、 “牛吃草问题”的变形模块二、 “牛吃草问题”的变形 【例【例 5】】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果如果 10 人淘水，人淘水，3 小时淘完；如小时淘完；如 5 人淘 水， 人淘 水，8 小时淘完小时淘完.如果要求如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？小时淘完，要安排多少人淘水？ 【解析】设 1 人 1 小时淘出的水量是 “1” ， 淘水速度是， 原有水量，(5 8103)(83)2 (102)324 要求2小时淘完，要安排人淘水242214 【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 3 人淘水人淘水 40 分钟可以淘完 ；分钟可以淘完 ； 6 人淘水人淘水 16 分钟可以把水淘完，那么，分钟可以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完？人淘水几分钟可以把水淘完？ 【解析】设 1 人 1 分钟淘出的水量是“1” ，分钟的进水量为，所以每分钟的4016243406 1624 进水量为，那么原有水量为：5 人淘水需要(分钟)把242413 14080805120 水淘完 【例【例 6】】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级 台阶，那么他走过 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级 台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过级台阶后到达地面；如。