WORD第四章不定积分教学目的：1、 理解原函数概念、不定积分的概念2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质与基本公式；3、 换元积分法与分部积分法教学难点：1、 换元积分法；2、 分部积分法；3、 三角函数有理式的积分§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xÎI,都有F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.例如因为(sin x)¢=cos x,所以sin x是cos x的原函数.又如当xÎ(1,+¥)时,因为,所以是的原函数.提问: cos x和还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xÎI都有F¢(x)=f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.两点说明:第一,如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.第二,f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则F(x)-F(x)=C (C为某个常数).定义2 在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分,记作.其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即.因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数.例1. 因为sin x是cos x的原函数, 所以.因为是的原函数, 所以.例2. 求函数的不定积分.解：当x>0时, (ln x)¢, (x>0); 当x<0时, [ln(-x)]¢, (x<0). 合并上面两式, 得到(x¹0). 例3 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解设所求的曲线方程为y=f(x),按题设,曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为y¢=f¢(x)=2x, , 即f(x)是2x的一个原函数.因为,故必有某个常数C使f(x)=x 2+C,即曲线方程为y=x 2+C.因所求曲线通过点(1, 2),故2=1+C,C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1.积分曲线:函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.从不定积分的定义,即可知下述关系:,或;又由于F(x)是F¢(x)的原函数,所以,或记作.由此可见,微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算,以记号表示）是互逆的.当记号与d连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)(k是常数),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),(15).例4 .例5 .例6 .三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即.这是因为, =f(x)+g(x).性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(k是常数,k¹0).例7. .例8 .例9 .例10 .例11 .例12 .例13 = tan x-x+C.例14 .例15 .§4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u), u=j(x),且j(x)可微,那么,根据复合函数微分法,有dF[j(x) ]=dF(u)=F¢(u)du= F¢[j(x) ] dj(x)= F ¢[j(x) ]j¢(x)dx,所以F ¢[j(x)]j¢(x)dx= F¢[j(x)] dj(x)= F¢(u)du= dF(u)=dF[j(x) ],因此.即=[F(u)+C] u=j(x) = F[j(x)]+C.定理1设f(u)具有原函数,u=j(x)可导,则有换元公式.被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待,从而微分等式j¢(x)dx=du可以应用到被积表达式中.在求积分时,如果函数g(x)可以化为g(x)= f[j(x)]j¢(x)的形式,那么.例1. =sin 2x+C.例2. .例3. .例4. .例5. =-ln|cos x|+C.即.类似地可得.熟练之后,变量代换就不必再写出了.例6. .即.例7. .例8. 当a>0时, .即.例9. .即.例10. .例11. .含三角函数的积分:例12. .例13. . 例14. .例15. .例16. .例17. =ln |csc x-cot x |+C .即=ln |csc x-cot x |+C .例18. =ln |sec x+ tan x | +C.即=ln |sec x+ tan x | +C.二、第二类换元法定理2 设x=j(t)是单调的、可导的函数,并且j¢(t)¹0.又设f [j(t)]j¢(t)具有原函数F(t),则有换元公式.其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函数.这是因为.例19. 求(a>0).解: 设x=a sin t,,那么,dx=a cos td t,于是.因为, ,所以.解: 设x=a sin t,,那么.提示:,dx=acos tdt.提示: , .例20. 求(a>0).解法一:设x=a tan t,,那么=a sec t,dx=a sec 2tdt,于是= ln |sec t+ tan t |+C.因为,,所以= ln |sec t+ tan t |+C,其中C 1=C-ln a.解法一:设x=a tan t,,那么=ln|sect+tant|+C,其中C 1=C-ln a.提示:=asect,dx=a sec 2tdt,提示:,.解法二: 设x=a sh t,那么,其中C 1=C-ln a.提示: =a ch t,dx=a ch tdt.例23. 求(a>0).解: 当x>a时,设x=a sec t (),那么=a tan t,于是= ln |sec t+ tan t |+C.因为,,所以= ln |sec t+ tan t |+C,其中C 1=C-ln a.当xa,于是,,其中C 1=C-2ln a.综合起来有.解: 当x>a时,设x=a sec t (),那么,其中C 1=C-ln a.当x<-a时,令x=-u,则u>a,于是,其中C 1=C-2ln a.提示:=atant.提示:,.综合起来有.补充公式:(16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23),(24).§4. 3 分部积分法设函数u=u(x)与v=v(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为(uv)¢=u¢v+uv¢,移项得uv¢=(uv)¢-u¢v.对这个等式两边求不定积分,得, 或,这个公式称为分部积分公式.分部积分过程:.例1 =x sin x-cos x+C.例2 .例3 =x2ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2 )+C.例4 .例5 .例6 .例7 求.解因为,所以.例8 求.解因为,所以.例9 求,其中n为正整数.解;当n>1时，用分部积分法,有,即,于是 .以此作为递推公式,并由即可得.例10 求.解令x=t 2,则,dx=2tdt.于.. 第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分,.哪些积分可以用分部积分法？, , ;,,;,.,. §4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数: ,其中m和n都是非负整数; a0,a1,a2,×××,an与b0,b1,b2,×××,bm都是实数,并且a0¹0,b0¹0.当n