重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（上）班级：教研窒：高等数学教研室编写时间：课题：第五节平面及其方程教学目的及要求:介绍最简单也是非常常用的一种曲面一一平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平•面，了解平•面与其法向量之间的关系教学重点：1.平面方程的求法2.两平■面的火角教学难点：平■面的几种表示及其应用旁批栏:教学步骤及内容：1 一、平面的点法式方程.平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直2 .平面的点法式方程已知平面上的一点Mo(x0,y0,z0)和它的一个法线向量n{A,B,C},对平面上的任一点M(x,y,z),有向量M0Mn,即UJUJU!nM0M0代入坐标式，有：A(xxo)B(yyo)C(zz°)0(1)此即平面的点法式方程例1:求过三点M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面方程解：先找出这平面的法向量n,knM1M2M1M39jk614i1由点法式方程得平面方程为14(x2)9(y1)(z4)即：14x9yz150二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：AxByCzD0几个平面图形特点：1) D=0:通过原点的平面2) A=0:法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面同理：B=0或C=0:分别表示一个平行于y轴或z轴的平面3)A=B=0:方程为CZD0,法线向量{0,0,C},方程表示一个旁批栏:解：设平面为AxByCzD0,由平面过原点知由平面过点（6,3,2）知6A3B2C0,rQn(4,1,2}4AB2C0A|C所求平面方程为2x2y3z0三、两平面的夹角：定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角设平面〔：A1xB1yC1zD10,2:A2xB2yC2zD20n1(A1,B1,C1},n2（A2,B2,C2｝按照两向量夹角余弦公式有:cos|A1A2B1B2C1C2|一Ai2B12B22C2几个常用的结论设平面1和法向量依n1("1}n2(A2,B2,C2}1)两平面垂直:B1B2C1C20（法向量垂直）2)两平面平行:AiB1C1B2C2（法向量平行）3)平面外一点到平面的距离公式:设平面外的一点Po（Xo,yo,Zo）,面的方程为AxByCzD0,则点到平面的距离为dAx0-A2ByCzoDB2C2例3:研究以下各组里两平面的位置关系:(1)x2yz10,y3z1(2)2xyz10,64x2y2z10211"十工十—————,两平面平422M(1,1,0)1M(1,1,0)2,所以两平面平行但不重合。
3)两平面平行M(1,1,0)1M(1,1,0)2所以两平面重合.-I10211311解：(1)cos—,,两平面相交，夹(1)222(1)21232.601arccosj;,60⑵n1(2,1,1)，n2(4,2,2)小结与思考：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程两平面的夹角以及点到平面的距离公式作业：见作业本7.5。