浅谈向量组线性相关性的几种判定 摘要：向量线性相关性是《线性代数》中的重要内容所包含的定理、证明，常用结论在本书的难点中涉猎应用诸多通过利用定义、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解等知识，归纳出六种向量组线性相关性的判定方法关键词：线性相关；线性无关；向量组；判定方法向量组的线性相关性是向量组之间线性相关或线性无关的统称方程组的线性相关与线性无关是对立的，掌握其一者的满足条件全部取反，则可得另一者若干向量组之间的线性相关性可应用于多种向量组的相关知识，例如最大无关组、向量组的秩、线性方程组的解的结构、过渡矩阵等一、向量组线性相关性的引出和概念线性表示的概念，形如 ，由此式可得， 是 的线性组合，如有 这一集合，使得 时， 是向量组 的一个线性组合由线性组合的相关概念可引出线性相关与线性无关的概念1.线性相关定义：给定向量组 ： ,如果存在不全为零的数 ,使 ,则称向量组A是线性相关的设向量组 ： 线性无关，而向量组 ： 线性相关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的常见结论：（1）零向量与所有向量组线性相关，向量组只包含一个向量 时， 为0向量，则说A线性相关。
2）线性相关的对应向量成比例， 的各元素都不为0，根据向量乘法就是各元素成比例 但若 中有元素为0，成比例的说法不成立，使用 或 的方式来判断3）若向量组 ： 线性相关，则向量组 ： 也线性相关含有相同向量的向量组线性相关增加向量的个数，不改变向量的相关性一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零2.线性无关定义：给定向量组 ： ,如果存在不全为零的数 ,使 ,向量组A中的任何一个向量都不能由其余项进行表示，则称向量组 是线性无关的常见结论：（1）向量组 中的任何一个向量 都不为零2） 个 维向量组成的向量组，当向量的个数 >向量的维度 ，一定线性相关，特别地 个 维向量一定线性相关3）设向量组 ： 线性无关，则向量组 ： 线性相关,则向量 必能由向量组 线性表示，且表达式是唯一的二、关于向量组线性相关性的几种判定1. 定义法利用定义来判定，线性相关或线性无关，为判定时最常用的方法之一。
具体步骤为：利用定义中的数值 的值是否全部为零，使得 是否为零可得向量组的线性相关性，若存在不全为零的 ,使得 ，则向量组线性相关反之向量组线性无关2.矩阵秩法此方法本质是，将所要求的向量组合成一个矩阵，然后利用矩阵的加减乘除规则，进行初等变换，变换成行阶梯型矩阵，然后得出组合矩阵的秩，将向量组矩阵的秩与向量个数进行比较，若向量组矩阵的秩>向量个数，则向量之间线性相关，反之，向量之间线性无关，即列满秩,得出向量组线性无关如上例1.的第三种证法：把已知条件合写成记作 因，知 可逆，根据矩阵的秩的性质可知 例证3如例证2相似，都首先把已知三个向量等式合并成矩阵等式，得到矩阵 证3用了矩阵的秩的相关知识，并且利用了定理4：向量组 ： 线性相关的充分必要条件是构成的矩阵()的秩小于向量的个数 ；向量组 线性无关的充要条件是 ，综上得出不涉及线性方程证明得出结论例1的第三种证法使用的是行的初等变换，根据矩阵中行，列之间的关系，此证法在列向量的线性相关性中依旧成立，将列组成的矩阵进行初等列变换，即可得出相应结论3.行列式值法若向量组 是由若干个多维向量所组成的向量组，向量组个数=向量维度 ,并且能构成矩阵 ，则矩阵为行列相等的 阶方阵，由矩阵的相关知识可得出 。
1）当 时，向量组 线性相关2）当 时，向量组 线性无关三、结语以上从向量组线性相关的概念引出、定义等，具体给出两个大方面介绍了向量组线性相关性的本质，详细地证明阐述了六种判定向量组线性相关性的方法由此可见，如果向量组线性相关性的判定是非常灵活的，且判断向量组线性相关性是较为规范化的，总可以使用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值的方法来判断透彻理解和熟练掌握向量组线性相关性的定义定理等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的定义定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题的能力［参考文献］[1] 工程数学《线性代数》第六版——同济大学数学系编[2] 向量组线性相关性的几种判定——学年论文指导教师：张萌 山东协和学院-全文完-。