1.4.2 角平分线八年级下册 学习目标能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.能利用角平分线的性质定理及判定定理进行 相关的证明与计算.12 前置学习1.△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为 . 2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P，若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为 .3. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.不能确定4. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC ，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.相等相等2727C C8 8 探究点一问题1：作三角形的三个内角的角平分线，发现三条角平分线位置有什么关系？证明这个结论？ABC 发现三条角平分线交于一点.已知：如图，设△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D.求证：点P在∠BAC的平分线上.证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM. ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 同理，PE=PF ∴PD=PF ∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上) ∴△ABC三条角平分线相交于一点P.本题基本思路：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 探究点一问题2：在上面的证明过程中除了证明三角形的三条角平分线相交于一点外，还发现这个点到三边的距离关系怎样？归纳：定理______________________________________.证明此定理. 定理 三角形的三条角平分线相交于一点（内心），并且这一点到三条边的距离相等.已知：如图，设△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D.求证：点P在∠BAC的平分线上.证明：由问题1知， △ABC三条角平分线相交于一点P.且PD=PE ，PE=PF ，∴PD=PE =PF，所以得证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 问题：如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4 cm，求AC的长；解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm，又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE 在等腰Rt△BDE中，由勾股定理得，BD= cm ∴AC=BC=CD+BD=4+ (cm) 探究点二 问题：如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(2)求证：AB=AC+CD．解：证明：由(1)的求解过程易知Rt△ACD≌Rt△AED( HL )∴AC=AE∵BE=DE=CD∴AB=AE+BE=AC+CD.探究点二 强化训练1.直线l₁、l₂、l₃表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？满足条件的有4处：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．P₁P₂P₃P4 强化训练2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB. 随堂检测1.如图，已知点P到△ABC的三条边所在直线的距离相等，则下列说法不正确的是( )A.点P在∠B的平分线上 B.点P在∠ACE的平分线上C.点P在∠DAC的平分线上 D.点P在三边的垂直平分线上2.如 图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.若BC=32， 且BD∶DE=9∶7，则CD的长为 . D14 随堂检测3.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=36 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，则DE的长是 . 4.如图，在△ABC中，N是三条角平分线的交点，EF⊥BN于N，∠BAN=20°，∠ENA=30°，则∠FNC= . 2.4cm20º 随堂检测5.如图，已知AO平分∠BAC，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，且O D=OE.求证:CO平分∠ACB证明：∵OD⊥BC，OE⊥AB，且OD=OE，∴点O在∠B的平分线上.又∵AO平 分∠BAC，∴点O是△ABC的角平分线的交点，即CO平分∠ACB(三角形的三条角平分线相交于一点). 再见再见 。
