数列、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于( )A．[0，＋∞) B．[0,1)C．(1，＋∞) D．(0,1]【解析】 由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1，所以N＝{x|x＞1}，所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C.【答案】 C2．如果命题“綈(p∧q)”是真命题， 则( )A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题【解析】 命题“綈(p∧q)”是真命题，则命题“p∧q”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选D.【答案】 D3．(2020宁波模拟)等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为( )A．7 B．8 C．9 D．10【解析】 由S13＝＝0得a1＋a13＝2a7＝0，所以a7＝0，又a1＝－12，故n≥8时，an＞0.【答案】 B4．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin 2α的值为( )A. B．－ C．－ D.【解析】 由已知得sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2＝－.【答案】 C5．(2020课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A. B．－ C. D．－【解析】 设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴∴解得a1＝，故选C.【答案】 C6．下列函数中与函数y＝－3|x|奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A．y＝－ B．y＝log2|x|C．y＝1－x2 D．y＝x3－1【解析】 函数y＝－3|x|是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C.【答案】 C7．(2020大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)【解析】 由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10). 【答案】 C8．已知向量a、b的夹角为120，且|a|＝|b|＝4，那么b(2a＋b)的值为( )A．48 B．32 C．1 D．0【解析】 b(2a＋b)＝2ab＋b2＝244cos 120＋42＝0.【答案】 D9．(2020昆明模拟)已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15等于( )A．201 B．210 C．211 D．212【解析】 由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)得，(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即an＋1－an＝2(n≥2)，数列{an}从第二项起构成等差数列，S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 C10．已知f(x)＝＋log2，则f＋f＋…＋f的值为( )A．1 B．2 C．2 013 D．2 014【解析】 对任意0＜x＜1，可得f(x)＋f(1－x)＝.设S＝f＋f＋…＋f则S＝f＋f＋…＋f于是2S＝＋＋…＋[f＋f]＝2 013＝2，所以S＝1.【答案】 A11．在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于( )A．4 B．5 C．6 D．7【解析】 在等比数列中，a2an－1＝a1an＝64，又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.当a1＝2，an＝32时，Sn＝＝＝＝62，解得q＝2，又an＝a1qn－1，所以22n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理当a1＝32，an＝2时，由Sn＝62解得q＝，由an＝a1qn－1＝32n－1＝2，得n－1＝＝4，即n－1＝4，n＝5.综上，项数n等于5，故选B.【答案】 B12．(2020东城模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 013的值是( )A．8 B．6 C．4 D．2【解析】 a1a2＝27＝14，所以a3＝4,47＝28，所以a4＝8,48＝32，所以a5＝2,28＝16，所以a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，所以从第三项起，an成周期排列，周期数为6,2 013＝3356＋3，所以a2 013＝a3＝4，故选C.【答案】 C第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【解析】 y＝2cos2＝cos x＋1，则所求面积为S＝∫dx＝(x－sin x)|＝2π.【答案】 2π14．(2020潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝csin C，b2＋c2－a2＝bc，则角B＝________.【解析】 由b2＋c2－a2＝bc得cos A＝＝，所以A＝30.由acos B＋bcos A＝csin C得sin Acos B＋cos Asin B＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，所以sin C＝sin2C.因为0＜C＜180，所以sin C＝1，即C＝90，所以B＝60.【答案】 6015．(2020淄博模拟)如图3－1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为________．图3－1【解析】 由已知得第n(n≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n－2)＋1]＝3＋＝n2－2n＋3.【答案】 n2－2n＋316．(2020孝感模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.【解析】 设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114得3an－1＝114，解得an－1＝38，(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.【答案】 16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2020安徽高考)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.【解】 (1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x.对任意n∈N*，f′()＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8解得{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2＋＝n2＋3n＋1－.18．(本小题满分12分)(2020佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A(－1,3)．(1)若OA⊥OB，求tan α的值；(2)若B点横坐标为，求S△AOB.【解】 (1)由题可知：A(－1,3)，B(cos α，sin α)，＝(－1,3)，＝(cos α，sin α)，由OA⊥OB，得＝0，∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝.(2)∵cos α＝，∴sin α＝＝，即B，∴＝(－1,3)，＝，∴|OA|＝＝，|OB|＝1，得cos∠AOB＝＝＝，∴sin∠AOB＝＝，则S△AOB＝|AO||BO|sin∠AOB＝1＝.19．(本小题满分12分)(2020青岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a1＋a2＋…＋an－1－an＝－1(n≥2且n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令dn＝1＋loga(a＞0，a≠1)，记数列{dn}的前n项和为Sn，若恒为一个与n无关的常数λ，试求常数a和λ.【解】 (1)由题知a1＋a2＋…＋an－1－an＝－1，①所以a1＋a2＋…＋an－an＋1＝－1.②由①－②得：an＋1－2an＝0，即＝2(n≥2)，当n＝2时，a1－a2＝－1，因为a1＝1，所以a2＝2，＝2，所以，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．故an＝2n－1(n∈N*)．(2)因为an＝2n－1，所以dn＝1＋loga＝1＋2nloga2.因为dn＋1－dn＝2loga2，所以{dn}是以d1＝1＋2loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列，所以＝＝＝λ⇒(λ－4)nloga2＋(λ－2)(1＋loga2)＝0，因为恒为一个与n无关的常数λ，所以解得λ＝4，a＝.20．(本小题满分12分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式．(2)设该生产线前n年的维护费用为Sn，求Sn.【解】 (1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，故an＝4＋(n－1)2＝2n＋2.当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝27＋2＝16，公比为1＋25%＝的等比数列，则此时an＝16n－7，所以an＝(2)当1≤n≤7时，Sn＝4n＋2＝n2＋3n，当n≥8时，由S7＝70，得Sn＝70＋16＝80n－7－10，所以该生产线前n年的维护费用为Sn＝21．(本小题满分12分)(2020天津模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝1，且点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．(2)求数列{anbn}的前n项和Dn.(3)设cn＝ansin2－bncos2(n∈N*)，求数列{cn}的前2n项和T2n.【解】 (1)当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是等比数列，公比为。
