完整版)三角函数的图像及性质复习讲义《三角函数的图像与性质》复习讲义【考纲说明】1.能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像,了解三角函数的周期性;2借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2,π/2）上的性质（如单调性、最大和最 小值、周期性、图像与x轴交点等）；3结合具体实例,了解的实际意义；【知识梳理】一、 三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，．当时， ；当时,．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数;在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴2、函数的性质振幅：；最大值是，最小值是，周期是，频率是,相位是，初相是； 其图象的对称轴所在直线的方程是由方程解得;凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心二、 三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设t=ωx+，由t取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图. 五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法(正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 由y＝sinx的图象利用图象变换可得到函数y＝Asin（ωx＋φ）(A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象。
注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴方向的伸缩量的区别三、 三角函数中解题常用方法1、由y＝sinx的图象变换出y＝Asin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换途径一：先平移变换（相位变换），再周期变换(横向伸缩变换），最后振幅变换（纵向伸缩变换）；途径二：先周期变换(横向伸缩变换），再平移变换(相位变换），最后振幅变换（纵向伸缩变换）2、由y＝Asin(ωx＋）的图象求其函数式：（图像或性质)确定解析式y=Asin(ωx+）的题型，通常先通过函数的最值确定，再根据周期确定,最后代入某个中心点坐标来完成的确定3、由变换出、、的图像，并注意变换后周期的变化4、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，利用周期公式另外还有图像法和周期函数的定义法典例剖析】 【例3】求下列函数的定义域：【例4】求下列函数的值域：【例5】判断下列函数的奇偶性： 【例6】求下列函数的最小正周期：【例7】求下列各函数的最大值、最小值，并求出使函数取得最大值、最小值时的x的集合．【说明】 求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx,cosx的有界性来求最值;2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，可转化为y=a（sinx+m）2+k或y=a(cosx+m)2+k求解,但要注意它与二次函数求最值的区别,此时|sinx｜≤1，|cosx｜≤1【例8】求下列函数的单调区间【例9】函数f（x）=Asin（ωx+j）的图象如图2-15，求： (1）f(x）的最小正周期；（2）使f(x)=0的x的取值集合;（3）使f（x)＜0的x的取值集合;（4)f(x)的单调递增区间和递减区间；（5)求使f（x)取最小值的x的集合；（6）图象的对称轴方程;(7）图象的对称中心．【例10】设y=Asin（ωx+j）（A＞0，ω＞0，|j｜＜π)图像上最高点D的标为(6，0),（1）求A、ω、j的值；（2)求出该函数的频率，初相和单调区间【例13】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【例14】已知函数,其中常数；若在上单调递增,求的取值范围。
例15】已知函数，．(1）求的最大值和最小值；(2）在上恒成立，求实数的取值范围．【例16】已知向量,，函数的最大值为6Ⅰ）求A;(Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象,求在上的值域．【例17】（2012湖北）已知向量a=，b=，设函数f（x）=a·b+的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且(1）求函数f（x）的最小正周期；(2)若y=f（x）的图像经过点求函数f（x)在区间上的取值范围．【例18】（2012安徽卷)设函数 （I）求函数的最小正周期; (II）设函数对任意，有,且当时， ； 求函数在上的解析式三角函数知识强化练习题】12013全国）已知函数，下列结论中错误的是（ ） A的图像关于中心对称 B.的图像关于直线对称 C.的最大值为 D既奇函数,又是周期函数22009山东)将函数的图象向左平移个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ). A B. C D3.（2009安徽卷理)已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ） （）A. B. C。
D2009江西卷文）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 52009天津卷文）已知函数的最小正周期为,将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（ ） A B C D6.（2009四川卷文）已知函数，下面结论错误的是（ ） A 函数的最小正周期为2 B 函数在区间[0，］上是增函数 C函数的图象关于直线＝0对称 D. 函数是奇函数7．(2009福建卷理）函数最小值是（ ） A．—1 B. C. D.18．（2009辽宁卷理）已知函数=Acos（)的图象如图所示,，则=（ ） A. B. C.－ D 21世纪教育网 9将函数y=sinx的图象向左平移0 ＜2单位后,得到函数y=sin的图象,则等于（ ） A． B． C。
D. 21世纪教育网 10．(2009天津）已知函数的最小正周期为,为了得到函数 的图象，只要将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 21世纪教育网 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 11.(2012湖南卷)函数f(x）=sinx-cos（x+)的值域为 ( ）A． ［ —2 ，2］ B.[-,] C.［—1,1 ］ D.[- , ]12.（2012浙江理)把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变）,然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度,得到的图像是（ ）13.（2009江苏卷）函数（为常数，）在闭区间上的图象如图，则= . 14．（2009上海卷）函数的最小值是_______ .152012四川)函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值16.已知，,｡ （1)求的单调递减区间｡ (2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值｡17。
2013辽宁）设向量(I)若 （II）设函数18.（2013湖南）已知函数.（I)若是第一象限角,且.求的值；（II）求使成立的x的取值集合 19．设函数（1）求函数上的单调递增区间；(2）当的取值范围2000全国文）已知函数y＝sinx＋cosx,x∈R1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?（3）求f（x）图象的对称轴,对称中心.4。