第二章 函 数,,章末小结与测评,1．函数及其表示 (1)函数的概念： 函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊的对应关系，即是一种特殊的映射．函数具有三个要素，即定义域、对应法则和值域，三者缺一不可．其中最重要的是定义域和对应法则，值域由定义域和对应法则确定．研究函数时应注意定义域优先的原则，其题型主要有以下几类：,①已知f(x)的函数表达式，求定义域； ②已知f(x)的定义域，求f(φ(x))的定义域，其实质是由φ(x)的取值范围，求出x的取值范围； ③已知f(φ(x))的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求φ(x)的取值范围． (2)相同函数： 判断两个函数是否相同，应抓住两点：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．同时应注意，解析式可以化简．,(3)映射的概念： ①映射是建立在两个非空集合之间的一种特殊的对应关系，这种对应满足存在性与唯一性．判断给出的对应f：A→B是否为映射，可从给出的对应是否满足(i)A中的不同元素可以有相同的像，即允许多对一，但不允许一对多；(ii)B中的元素可以无原像，即B中可以有“空元”．,②特殊的映射：一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原像，这时这两个集合的元素之间存在一一对应的关系，并把这个映射叫作从集合A到集合B的一一映射． ③函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射．,2．函数的基本性质 函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质，在每年的高考中均有体现．常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与单调性的应用等． (1)函数的奇偶性： 具有奇偶性的函数的特点： a．对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称； b．整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；,c．可逆性：f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数； f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数； d．图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称． (2)函数单调性： ①单调性的判定： 判断函数的单调性一般有两种方法：一是定义法；二是图像法．其中定义法具有严格的推理性，在证明单调性时通常使用此法，其基本思路是：,a．设元：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1x2； b．作差：即作f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))； c．变形：即通过通分、配方、因式分解等手段，对差式向有利于判断符号的方向变形； d．定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； e．结论：根据定义得出结论．,②求函数的单调区间： 求函数的单调区间通常可采用： a．利用已知函数的单调性； b．定义法：先求定义域，再利用单调性定义； c．图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．,函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，例如函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”．,[解] (1)由题意得A＝{1,2}． 因为A∩B＝B，所以B⊆A. ①当B＝∅时，方程x2－x＋2m＝0无实数解，因此其判别式Δ＝1－8m8(1)； ②当B＝{1}或B＝{2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个相同的实数解x＝1或x＝2，因此其判别式Δ＝1－8m＝0，解得m＝8(1)，代入方程x2－x＋2m＝0解得x＝2(1)，矛盾，显然m＝8(1)不符合要求； ③当B＝{1,2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个不相等的实数解x＝1或x＝2，因此1＋2＝1,2m＝2.显然第一个等式不成立． 综上所述，m8(1).,[解] (1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1. f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0. ∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)是R上的增函数．,典例4：对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1.f(3)＝4. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．,(2)令x＝y＝1， 则f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2. 又∵f(3)＝4，∴3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2f(1)－1＝3， 由(1)知f(x)是R上的增函数，∴f(x)在[1,2]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(1)＝2，最大值为f(2)＝3.,[借题发挥] 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题，抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题．,。