§1.4单调有界定理单调有界定理 及及其应用其应用 ╳╳√√？？ 定义4.1(单调数列定义)一、一、 单调有界定理单调有界定理则称是严格单调递增（递减）数列. 观察下面单调递增的有界数列 定理定理4.1 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.证明：见教材或华东师大教材附录证明：见教材或华东师大教材附录2: 实数理论实数理论 推论推论4.1(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；(2)若单调数列的一个子列趋向去穷,则此数列发散；(3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷；(4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界. 单调数列收敛的充分必要条件是有一收敛子列单调数列收敛的充分必要条件是有一收敛子列. .主要证明(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛； 例例4-14-1证明证明: : 例例4-24-2证明证明: : 例例1 1证证 (舍去舍去)迭代数列的极限 例例2 2 例例3 3 有多种证法：有多种证法： ————单调数列有子列收敛则收敛单调数列有子列收敛则收敛 凑凑 例４：利用不等式例４：利用不等式（１）（２）证明证明（3） （１）因为 将上面的式子相加得到结论：将上面的式子相加得到结论： （２）由于（２）由于因此因此 有界有界（（3））单增单增 说明：说明： 闭闭区间套定理区间套定理 注意注意: : 例例5 5证明证明证明证明: :⑴⑴⑵⑵ ⑶⑶即构成闭区间套即构成闭区间套 证明 。