专题08旋转中的最值问题考点一费马点问题求最值【方法点拨】费马点证明都長依据旋转思想.构造三角形全等.然后将三条线段之和转化到是否在一条直 线上来决定最小值这个思路一走要掌握，因为它会应用在实际的考试题目中典例剖析】1・（经典例题）已知：P是边长为1的正方形2ECD内的一点，求Rl+PB^PC的最小值.B C【点拨】顺时针旋转△EPC60度，可得为等边三角形，若R#PB-PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上，求岀.妒的值即可.【解析】解：顺时针旋转△BPC60度,可得恥为等边三角形.即得M+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要-IP, PE, M在一条直线上，即如下图：可得最小R1+PB-PC=.4F.此时 ZEBC+ZCBP= ZFBE+ZEBC=6L = ZFBC.所以ZABF=90° +60° =150° ,ZMBF=3L ,/q 1BW=BF・cos3（T =5C>cos30° =分 MF=〒则务寺1在△zB/F中，勾股圧理得：3+仃=,护HF= = J（坯 2 + 2x 字x 尊+（坯 2 = J（学）2 =竿.2.（朝阳区二模）阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1，HABC中，ZACB=30° , BC=6, AC=5,在ZU5C内部有一点P， 连接EL PB、PC,求R1+PB+PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它 们连接成一条折线，并让折线的两个端点为左点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求岀这三条 线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做 法是，如图2,将ZUPC绕点C顺时针旋转60° ,得到连接PD、BE,则EE的长即为所求.（1） 请你写出图2中，Ri+PB+PC的最小值为_质_；（2） 参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3,菱形ABCD中，ZABC=60° ,在菱形.13CD内部有一点P,请在图3中画岀并指明长度等 于R1+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画岀一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4,请直 接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.图3【点拨】（1）先由旋转的性质得出△ APC^/XEDC.则ZACP=ZECD、AC=EC=5, ZPCD=60° ,再证明Z5CE=90° ,然后在RtABCF中，由勾股迫理求出恥的长度，即为PA+PB-rPC的最小值：（2）①将ZUPC绕点C顺时针旋转60。
得到ADEC,连接PE、则线段加即为R1+PB+PC最小值的线段；②当B、P、E、D四点共线时，刃+PB+PC值最小，最小值为肋.先由旋转的性质得出［\AFC9l\DEC、 则CP=CE,再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP,然后根据菱形、三角形外角的性质，等 腰三角形的判左得出肿=CP,同理，得出DE=CE,则EP=PE=ED=|sZ)・【解析】解：(1)如图2. •・•将AJPC绕点(？顺时针旋转60° ,得到:.\APgHEDC、:.ZACP=ZECD. AC=EC=S. ZPCD=6Y ,••• ZJCP+ZPCB= ZECBZPCB,:.ZECD+ZPCB= ZACB=30a ,:• ,BCE= ZECD+ZPCB+ZPCD=3y +60° =90° ・在 RtA5C£ 中，•: ZBCE=9$ , BC=6、CE=5.:・BE= \BC2 + CE2 = \^62 + 52 = \/61,即Ri+PB-PC的最小值为质：(2)①将ZLIPC绕点C顺时针旋转60° ,得到△£>£■(?,连接PE、DE,则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段：②如图，当2、P、E、D四点共线时，PA+PB^PC值最小，最小值为•••将ZUPC绕点(7顺时针旋转60° ,得到AAJPC^AD£C.:・CP=CE、ZPCE=60° ,/. APcr是等边三角形，:・PE=CE=CP, ZEPC=ZCEP=6Q° ・•••菱形 ABCD 中，ZABP= ZCBP=畀朋。
32 ,A ZPCB= ZEPC - ZCBP=60c - Z30° =30° ,：・"CB=ZCBP=3L ,:・BP=CP、同理，DE=CE、:・BP=PE=ED・ 连接dC,交加于点O•则JC丄BD在 Rt△刃0C 中，V Z50C= 90° , ZOBC=3L , 5C=4,BO =BC• cosZOBC=4x 号=2晶:・BD=2BO=4 屈:・BP= ；BD=攀即当R1+PB+PC值最小时PB的长为——・图3图33・（延庆县一模）阅读下而材料：小伟遇到这样一个问题：如图1,在△J5C （其中ABAC是一个可以变化的角）中,AB=2, AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PEC,求，妒的最大值.图i 图2 图3小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△J5P 逆时针旋转60°得到△/' BC,连接2' A,当点丄落在.4' C上时，此题可解（如图2）.（1） 请你回答：的最大值是一 6 .（2） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3,等腰RtZU5C・边AB=4. P为ZUEC内部一点，请写出求JP+EP+CP的最小值长的解题思路. 提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把厶妙绕/点逆时针旋转60,得 到ZU，BP'.① 请画出旋转后的图形② 请写出求JP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.【点拨】（1）由旋转得到BC,有M 是等边三角形，当点A. C*三点共线时，f C=±l'+AC,最大即可：（2）由旋转得到结论E4PB+PC=PU1+P1B+PC,只有，旳、Pi、P、C四点共线时，（PU+P1B+PC） 最短,即线段21C最短，根据勾股定理，即可.【解析】解：（1）•: 5ABP逆时针旋转60°得到厶丁 BC,加= 60° ,『B=AB, AP" C是等边三角形，• •A1 A=AB~BAr =2,在C 中,Af CULT +JC» 即廿＜6,则当点f A. C三点共线时,A' C=AA' +AC,即 JP=6,即4P的最大值是:6：故答案是：6.（2）①旋转后的图形如图1：②如图2,A以 E 为中心，将ZUPE 逆时针旋转 60° 得到ZUiPiP・贝^A!B=AB=BC=4. PA=P\A\. PB=P\B,:.R4+PB-PC=PiAi-PiB-PC.•・•当旳、Pl、P、C四点共线时，（PM+PM+PC）最短，即线段旳C最短，:.A\C=PA+PB+PC.sc长度即为所求.过旳作21D丄CB延长线于DV ZJiBJ=60° （由旋转可知）,A ZA1BD=3O° ・"12=4,:.A1D=2, BD=2范.•.CD=4+2x/3：在 RtAJiDC 中，2iC= JaQ + DC? = J22 + （4 + 2\/3）2 =2^2 +2^6.4. （2019春•灌桥区校级期末）问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一 种基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相 互之间的关系淸楚明了，从而将求解问题灵活转化.问题提岀：如图是边长为1的等边三角形,P为△MC内部一点，连接PA、PB、PC,求M+PB+PC 的最小值.D®4方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两泄点之间的折线（化星为 折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.问题解决：如图2,将△处」绕点E逆时针旋转60°至连接PP\ AC.记』C与JB交于点D、易知 BA'=BA=BC=1. ZA'BC= ZABA+ZABC= 120° ・由 ZPBP=6V ,可知△PBP为正三角形，有PB=PP故PA + PB +PC = PfA + PfP + PC >AfC = \/3・因此，当 J. P\ P. C 共线时，Rl+PB+PC 有最小值 是"3.学以致用：（1）如图3,在/\ABC中，ZBJC= 30° , .13=4, CA=3, P为厶毎C内部一点，连接ELPB、 PC,则的最小值是5 .（2） 如图 4,在/\ABC 中，ZB」C=45° , AB = 2近,CA = 39 P 为内部一点，连接 Ek PB、PC、 求並PA + PB + PC的最小值.（3） 如图5, P是边长为2的正方形.拐CD内一点，0为边BC上一点，连接PA、PD、PQ,求刃+PZHP0 的最小值.【点拨】（1）将ZUPC绕点zl逆时针旋转60°得到△*£,易知ZUFP是等边三角形，ZE坊=90° , 转化为两左点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.（2） 将ZUPB绕点/逆时针旋转90°得到厶匹£,易知厶旳是等腰直角三角形，ZE£8=135° ,作 EH^BA交的延长线于H.转化为两左点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求 最小值（化折为直）.（3） 如图5中，将△JPD绕点2逆时针旋转60°得到ZUFE,则易知是等边三角形，转化为两 左点之间的折线（化星为折），再利用“垂线段最短”求最小值.【解析】解：（1）如图3中，将△dPC绕点2逆时针旋转60°得到易知是等边三角形，ZE松= 90° ,在 RtZ\E松中，BE= \lAE2 +AB2 =5,J R 知PB-PC=EF+FP亠PB PBE、:.R4+PB-PC^5.:.P4+PBrPC的最小值为5.故答案为5・图4将绕点川逆时针旋转90°得到ZUFE,易知厶肝是等腰直角三角形，ZE松=135° ,作阳丄 交的延长线于H.在 Rt/XEIH 中，V ZJZ=90° , ZEAH=45° ―4E=AB=2近:.EH=AH=2.在 RtZXEHC 中，EC= 02 + 52 = V29J 近时PB-PC=FP-EF+PCM CE,:.PA+PB-PC> \/29,:.R4+PB-PC的最小值为后.(3) 如图5中，将厶庇绕点川逆时针旋转60°得到厶匠，则易知是等边三角形，E作EH丄BC于民交AD于G・••• Ri^PD+PO =EF+FP+PQWEH・易知 £G=J£vsm60° =屆 GH=AB=2.•••EH=2+VJ,:.Ri+PD+PO