第 1 页 共 12 页二次函数二次函数的应用一、顶点坐标公式的应用（基本题型）1、某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱 40 元，生产厂家要求每箱的售价在 40 元~70 元之间．市场调查发现：若每箱 50 元销售，平均每天可销售 90 箱，价格每降低 1 元，平均每天多销售 3 箱；价格每升高 1 元，平均每天少销售 3 箱．（1）写出平均每天的销售量 y（箱）与每箱售价 x（元）之间的函数关系式（注明自变量 x 的取值范围） ；（2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润 W（元）与每箱牛奶的售价 x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润=售价－进价） ；（3）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形abcay4)2(2式，并指出当 x=40、70 时，W 的值． （4）在坐标系中画出（ 2）中二次函数的图象，请你观察图象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？练习：2、我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格 30 元/千克收购了这种野生菌1000 千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计 310 元，而且这类野生菌在冷库中最多保存 160 天，同时，平均每天有3 千克的野生菌损坏不能出售．（1）设 天后每千克该野生菌的市场价格为 元，试写出 与 之间的函数关系式．xyyx（2）若存放 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为 元，试写出 与 之间的Px函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润 元？W（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）练习 3、汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为 25 万元，市场调研表明：当销售价为 29 万元时，平均每周能售出 8 辆，而当销售价每降低 0.5 万元时，平均每周能多售出 4 辆．如果设每辆汽车降价 万x元，每辆汽车的销售利润为 万元． （销售利润 销售价 进货价）y（1）求 与 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出 的取值范围；（3 分）yx x（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为 万元，试写出 与 之间的函数关系式；（3 分）zz（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？（4 分）练习 4、某集团将下设的内部小型车场改为对外开放的收费停车场。
试运营发现：每辆次小车的停车费不超过 5 元时，每天来此处停放的小车为 1440 辆次，超过 5 元时，每涨 1 元，每天来此处停放的小车就减少 120 辆次，而此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为 800 元为便天结算，规定每辆次小车的停车费 x（元）只取整数，用 y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收不低于 2512 元 （日净收入=每天共收取的停车费- 每天的固定支出）（1）当 x≤5 时，写出 y 与 x 之间的关系式并说明每辆次小车的停车费最少不低于多少元；（2）当x>5 时，写出 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围） ；（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次校多，又要有较大的日净收入按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？第 2 页 共 12 页二次函数练习 5、某地区盛产一特种产品，帮扶公司经过市场调查，发现该产品在Ａ市有很好的消费市场，于是06 年开始投入资金购销该产品，现了解到公司 06 年的一些购销情况：公司以 9 万元／吨的市场保护价收购该产品，收购产品、分类包装、运往 A 市等費用約為 0.5 万元/吨,所收购产品的损耗率为 5%,在 A 市的销售价为 15 万元/吨.07 年公司为了提高该产品的知名度 ,扩大销量,在收购价与销售价不变的前提下,准备拿出一定的资金在 A 市做广告宣传 .根据经验,投入广告费 x(万元)与在 06 年销量的基础上该产品的销量y(吨)之间满足关系: y=ax2+bx+50.并且当投入 1 万元的广告费时,销量为 59 吨;当投入 2 万元的广告费时，销量为 66 吨．（1）公司 06 年将销售利润全部回报后，在市场保护价的基础上，农民卖出 1 千克的产品还可增收 元；（2）试写出 y 与 x 之间的函数关系式：y＝ ，根据关系式可知，06 年公司实际收购该产品 吨；（3）设 07 年公司的销售利润为Ｗ（万元） （销售利润＝销售额－成本费－广告费） ，试写出Ｗ与 x 之间的二次函数关系式；练习 6、.某公司有甲、乙两个绿色农产品种植基地.在收获期这两个基地当天收获的某种农产品，一部分存入仓库，另一部分运往外地销售.根据经验，该农产品在收获过程中两个种植基地累积总产量 （吨）y与收获天数 （天）满足函数关系 （1≤ ≤10 且 为整数）.该农产品在收获过程中甲、乙两x23yxx基地的累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲、乙两基地累积存入仓库的量分别占甲、乙两基地的累积产量的百分比如下表：（1）请用含 的代数式分别表示在收获过程中甲、乙两个基地累积存入仓库的量；y（2）设在收获过程中甲、乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为 （吨）.请求出 （吨）与收pp获天数 （天）的函数关系式；x（3）在（2）的基础上，若仓库内原有该种农产品 42.6 吨，为满足本地市场需求，在此收获期开始的同时，每天从仓库调出一部分该种农产品投入本地市场，若在本地市场售出的该种农产品总量 （吨）与m收获天数 （天）满足函数关系 （1≤ ≤10，且 为整数）.问在此收获期内连续x23.6mxx销售几天，该农产品库存量达到最低值？最低库存量是多少吨？第 3 页 共 12 页二次函数附加练习某大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例2.7系数为 ；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 万元．每公顷蔬菜年均可卖 万元．0.9 0.37.5（1）基地的菜农共修建大棚 （公顷） ，当年收益（扣除修建和种植成本后）为 （万元） ， 写出x y关于 的函数关系式．yx（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚． （用分数5表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施 年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．二、表达式的应用7、练习：8、某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 920m，与篮圈中心的水平距离为 7m，当球出手后水平距离为 4m 时到达最大高度 4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面 3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面 1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1m，那么他能否获得成功？Oyx3m3m4m4m第 4 页 共 12 页二次函数练习 9 如图，已知二次函数 24yaxc的图象与坐标轴交于点 A（-1， 0）和点 B（0，-5） ．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 P， 使 得 △ABP 的 周长 最 小 ． 请 求 出 点 P 的 坐 标 ．10、如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下 O 点打出一球向球洞 A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度 12 米时，球移动的水平距离为 9 米 ．已知山坡 OA 与水平方向 OC 的夹角为 30o，O 、A 两点相距 8米．3（1）求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点 ．三、不等式与二次函数的综合应用11、 、某公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)( 不含进价)与年销量y(万件 )存在函数关系z=10y+42.5.(1)求y关于x的函数关系式;(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元) 关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价- 年总开支金 额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用 (2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围.在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?练习 12、 、某高科技发展公司投资 500 万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金 1500 万元进行批量生产。
已知生产每件产品的成本为 40 元，在销售过程中发现：当销售单价定为 100 元时，年销售量为 20 万件；销售单价每增加 10 元，年销售量将减少 1 万件，设销售单价为 x元，年销售量为 y万件，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资） z万元1）试写出 与 x之间的函数关系式；（不必写出 x的取值范围）（2）试写出 z与 之间的函数关系式；（不必写出 的取值范围）（3）计算销售单价为 160 元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于 1130 万元xOA（第 9 题图）By第 5 页 共 12 页二次函数请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价 x（元）应确定在什么范围内？练习 13 为了扶持大学生自主创业，市政府提供了 80 万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件 40 元，员工每人每月的工资为 2500 元，公司每月需支付其它费用 15 万元．该产品每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）（x＞40）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为 50 元时，为保证公司月利润达到 5 万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有 80 名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？练习 14 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．105yx（1）设李明每月获得利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）15、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 ykxb，且 65时，5y； 7x时， 45． （1）求一次函数 ykb的表达式；（2）若该商场获得利润为 W元，试写出利润 与销售单价 x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 的范围．第 6 页 共 12 页二次函数。