第六节 边际与弹性教学目的：掌握边际函数、弹性函数定义 教学重点：经济学中常见边际函数及弹性函数教学难点：需求弹性的计算教学内容：一、边际概念在经济学中，边际概念通常指经济问题的变化率，称函数f (x)的导数f '(x)为函数 f (x )的边际函数.在点X处，当x改变Ax时，相应的函数y =f (x)的改变量为 0Ay 二 f (x + Ax) - f (x ).当 Ax 二 1 个单位时，Ay 二 f (x +1) - f (x )，如果单位很小，0 0 0 0则有 Ay 二 f (x +1) - f (x )沁 dy = f'(x ).0 0 x=xo 0dx=1这说明函数f'(x )近似地等于在x处x增加一个单位时，函数f (x)的增量Ay .当x00有一个单位改变时，函数f (x)近似改变了 f'(x0).二、经济学中常见边际函数1．边际成本总成本函数C(x)的导数C'(x)称为边际成本函数，简称边际成本.边际成本的经济意义是，在一定产量x的基础上，再增加生产一个单位产品时总成本增 加的近似值．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”二字．例1： 已知生产某产品x件的总成本为C(x) = 9000 + 40x + 0.OOlx2 (元)，⑴求边际成本C\x)，并对C'(1000)的经济意义进行解释.(2)产量为多少件时，平均成本最小？解： ⑴边际成本C'(x) = 40 + 0.002x .C' (1000) = 40 + 0.002 X1000 = 42 .它表示当产量为1000件时，再生产1件产品则增加42元的成本； (2)平均成本尺、C 9000 “C(x) = 一 = + 40 + 0・001x，xxC'( x ) = 9000 + 0.001，X2令 C' (X) = 0，成本最小.2.边际收入得X = 3000(件).由于C''(3000) = 3003 > 0，故当产量为3000件时平均总收入函数R(x)的导数R'(x)称为边际收入函数，简称边际收入.边际收入的经济意义是，销售量为x的基础上再多售出一个单位产品所增加的收入的近 似值．例2：设产品的需求函数为x = 100-5p，其中p为价格，x为需求量•求边际收入函数，及x = 20,50,70时的边际收入，并解释所得结果的经济意义.100 - x解： 根据 x = 100 - 5 p 得 p = 5—总收入函数R(x) = px = 1°； x - x = 5 (100x - x2) 边际收入函数为R'(x) = 5(100 - 2 x)R'(20) = 12, R'(50) = 0, R'(70) = -8即销售量为20 个单位时，再多销售一个单位产品，总收入增加12个单位；当销售量为 50个单位时，扩大销售，收入不会增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品 总收入将减少8个单位．3．边际利润总利润函数L(x)的导数L'(x)称为边际利润函数，简称边际利润.边际利润的经济意义是，在销售量为x的基础上，再多销售一个单位产品所增加的利润.由于L(x) = R(x) - C(x)，所以L'(x)= R'(x)-C'(x).即边际利润等于边际收入与 边际成本之差.例 3：某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为C(x) = 100 + 2x + 0.02x2 (元)与R(x) = 7x + 0.01x2 (元)求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润，并说明 其经济意义.解： 总利润函数 L( x) = R (x) - C (x) = -0.01x2 + 5 x -100边际利润函数为L' (x) = -0.02 x + 5日产量为 200 千克、 250千克和300千克时的边际利润分别是L (200)=1(元)， L (250)=0(元)， L (300)=-1(元)2其经济意义是，在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可增加1元； 在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在日产量为300千克的基 础上，再增加1千克产量，将亏损1元．、弹性概念弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变 量变化的灵敏程度．例如，设有A和B两种商品，其单价分别为10元和100元.同时提价1元，显然改变 量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研 究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量 (自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时， 因变量变动的百分数．Ay Ax定义：设函数y = f (x)在点x处可导.则函数的相对改变量一与自变量的相对改变量一 yx之比，当Ax T 0时的极限：lim 学丄二Ax：： xAxtOxxy'二 厂(x)称为函数y = f (x)在点x处y f ( x )EE或E竺，即的弹性，记作厂一Ex ExEy_x f'( x).由定义知，当Ax = 1%时,x函数y = f (x)在点xo处的弹性Ex f ( x)沁 % .可见，函数y = f (x)的弹性具有下述意义: y ExEyEx表示在点xo处当x改变1%时，函数y = f (x)在f (x )的水平上近似改变EyEx%．x—xo四、经济学中常见的弹性函数1. 需求价格弹性设某商品的需求量为Q，价格为p，需求函数Q = Q(P)，则该商品需求对价格的弹性p dQ(简称需求价格弹性)为：e =£d Q dp评注：一般来说，需求函数是价格的单调减少函数，故需求价格弹性为负值，有时为讨论方 便，将其取绝对值，也称之为需求价格弹性，并记为n，即耳=|E | = -^dQ .| ' Q dp若耳=1，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等，称为单位弹性或单 一弹性；若n< 1，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量 的影响不大，称为缺乏弹性或低弹性；3若耳>1，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量 的影响较大，称为富于弹性或高弹性.2供給价格弹性设某商品的供给量为W，价格为p，供給函数W = W(p)，则该商品供給对价格的弹p dW性(简称供給价格弹性)为：E =—s W dp3．需求弹性与总收益的关系总收益R = pQ(p)，所以宀Q (p)+pQ( p)=Q( p )[1+p)-盘]=Q (p )Z]评注：(i)若1，即需求变动的幅度小于价格变动的幅度•此时R> 0，说明收益R单 调增加，即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少；⑵若耳> 1，即需求变动的幅度大于价格变动的幅度•此时R< 0，说明收益R单调 减少，即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加；⑶若耳=1，即需求变动的幅度等于价格变动的幅度•此时R = 0，总收益保持不变, 降低价格或提高价格对总收益都没有影响.P例4：：某商品需求函数为Q = 10-~2，求(I)当P = 3时的需求弹性；⑵在P = 3时，若价格上涨1%,其总收益是增加，还是减少？它将变化多少?解：(1)譽=Qq=P _ P—P _ P - 20-1当 P _ 3时的需求弹性为EQiEP 'P_3317u-0.18.P2(2)总收益R _ PQ _ 10P-远，总收益的价格弹性函数为EP _ 篦 R _(10 - P)-总22(10 - P)20 - P在P _ 3时，总收益的价格弹性为ER _ 2(10 - P)EP _ 20—PP _3 P _3沁 0.82 .故在P _ 3时，若价格上涨1%，需求仅减少0.180°，总收益将增加,0.82% .总收益约增加4。