第八章 免赔额与风险保费的计算第一节 保费计算原理定义 8.1 【纯风险保费原理】 若非负的随机变量 X 表示受损，X 的分布函数为,数学期望为 E(x).纯风险保费原理为：𝐹𝑋(𝑡)P = E[X] （8.1）纯风险保费是最简单的保费计算原理，常用于人寿保险的定价以及一些非寿险产品的定价. 由于未来的理赔损失常常不同于它的期望损失 E[X],基于历史数据而估计出来的 [X]也𝐸不同于 E[X],为了反映这个事实，常常在风险保费的基础上加上附加保费.定义 8.2 【期望值保费原理】 若非负的随机变量 X 表示损失，X 的分布函数为,数学期望为 E(x).期望值保费原理为：𝐹𝑋(𝑡) P(𝜃) = (1+𝜃)E(X) , 𝜃≥ 0 （8.2 ）这里 是附加保费， 是 的线形函数，当 =0 时， 就是纯风险保费这种𝜃E(X) P(𝜃) 𝜃 𝜃 P(𝜃)保费定价原理在实践中应用最为广泛.纯风险保费和期望值保费原理的缺陷是没有反映 X 的损失波动性，因此方差保费原理和标准差保费原理被提出，以弥补这个缺陷.定义 8.3 【方差保费原理】 若非负的随机变量 X 表示损失，X在此处键入公式。
的分布函数为, 数学期望为 E(x)，方差为 Var(X).方差保费原理为：𝐹𝑋(𝑡)a ≥0 𝑃(𝑎)=𝐸(𝑋)+𝑎𝑉𝑎𝑟(𝑋)（8.3 ）在方差保费原理下，保费不仅反映了期望损失，还反映了损失的方差由（8.3）式定义的保费是 a 的线形函数，容易看出，当 a=0 时，P(a)就是纯风险保费定义 8.4 【标准差保费原理】 若非负的随机变量 X 表示损失，X 的分布函数为, 数学期望为 E(x)，方差为 Var(X).标准差保费原理为：𝐹𝑋(𝑡), b≥0 （8.4）𝑃(𝑏)=𝐸(𝑋)+𝑏𝑉𝑎𝑟(𝑋)标准差保费原理不仅反映了期望损失，也反映了损失的标准差和方差原理一样，保费 P(b)是 b 的线形函数，当 b=0 时，p(b)是纯风险保费定义 8.5 【指数保费原理】 若非负的随机变量 X 表示损失，X 的分布函数为 ,X𝐹𝑋(𝑡)的矩母函数为 (t)=E[ ].指数保费原理为：𝑀𝑥 𝑒𝑡𝑋c≥0 （8.5 ）𝑃(𝑐)ln𝑀𝑋(𝐶)𝐶 =ln𝐸[𝑒𝑐𝑋]𝐶保费 P(c)是参数 c 的增函数，而参数 c 测度了风险厌恶程度， .lim𝑐→0𝑃(𝑥)=𝐸[𝑋]定义 8.6 【百分比保费原理】 若非负的随机变量 X 表示损失，X 的分布函数为,𝐹𝑋(𝑡)(t)的反函数存在，记作 (x).百分比保费表示为 P(ε):𝐹𝑋 𝐹‒1𝑋（8.6）𝑃(ε )=𝐹‒1𝑋(1‒ε ）【例 8.1】 若随机损失变量 X 服从参数为 1 的指数分布，试用指数保费原理计算保费。
解】 由公式（8.5） ，指数保费为：𝑃=ln𝐸[𝑒𝑐𝑋]𝑐 =‒ln(1‒𝑐)𝑐其中，c 为风险厌恶系数例 8.2】设车辆保单组合的总理赔额服从复合 Poisson 分布，每个事故中的理赔额服从伽玛分布试求安全附加系数为 10%的期望值保费解】 由 N ~ Poisson( ),X ~ Γ(α, β)知，期望值保费为：λ𝑃=(1+10%)×𝐸[𝑁]×𝐸[𝑋]=1.1𝛼λ𝛽第二节 免赔额在大部分保险业务中，常常采用免赔额来限制理赔，将保险公司的损失限定在合理的范围内在汽车保险、健康保险、伤残保险、人寿保险等商业保险中,免赔额是保险公司限制理赔的重要手段免赔额能达到以下两方面的目的，首先是减少经常发生的数量众多的小额理赔的处理成本，以降低保险公司的管理费用；其次是通过被保险人自付一部分理赔成本的方式，使被保险人提高防御风险的意识，减少对资源的浪费免赔额具有以下几方面的优势：① 防御风险：由于免赔额的存在，被保险人的赔偿被减少了，被保险人的自留额是正的，这就达到了规避损失的目的② 减少损失：由于免赔额的存在，使遭遇风险的保单持有人只得到一部分赔偿，这起到了经济激励的作用，激发了减少毁坏进一步扩大的正面动机。
③ 避免小理赔，使管理成本得以控制：对于小理赔，对它的处理成本常常搞过损失本身，因此保险公司希望保单持有人自己承担它④ 降低保费：降低保费对保单持有人来说是一个有意义的话题，它们可能更喜欢保留较高的免赔额而获得较低的保费第三节 免赔额下的保费计算公式与第一节一样，若随机变量 X 表示风险或损失，是非负的随机变量，它的分布函数为,概率密度函数为 ，我们用 h(x)表示与免赔额相对应的保险公司的支付函数假𝐹𝑋(𝑡) 𝑓𝑋(𝑡)定它的数学期望是 ,方差 Var(X)存在从这一节中开始，我们只考虑最简单的纯风险保𝐸[𝑋]费计算原理，即保费 P 等于损失的期望值： .𝑃=𝐸[𝑋]定义 8.7 【绝对免赔额(Franchise Deductible)】 绝对免赔额通常就是写入保单合同中的免赔额绝对免赔额为 a，意味着当损失低于 a 时，保险公司不做任何赔偿，只有当损失等于或超出 a 时，保险公司赔付全部的损失这是支付函数为: （8.8）𝑎(𝑥)={0, 𝑥𝑚2/𝑐 性质 8.4 有限比例免赔额下的保费可以用无免赔额时的保费和相应的有限期望值函数表示：（8.15）𝑃𝐿𝑃(𝑐,𝑚1,𝑚2)=𝑃‒𝐿(𝑚1)+𝑐{𝐿(𝑚1𝑐)‒𝐿(𝑚2𝐶)}有时只有一个限制被写入合同中，即 或者 。
容易验证当 并且𝑚1=0 𝑚2=∞ 𝑚1=0时，有限比例免赔额就是比例免赔额𝑚2=∞第四节 免赔额下对给定损失分布的保费计算实例【例 8.3】 计算免赔额下对数正态分布的保费公式解】 考虑一个正态分布的随机变量 Z.令 , 的分布就是所谓的对数正态分布，𝑋=𝑒𝑍 𝑋它的分布函数为：𝐹(𝑡)=𝜑(ln𝑡‒𝑢𝜎)=∫𝑡0 12𝜋𝜎𝑦𝑒𝑥𝑝{‒12(ln𝑦‒𝑢𝜎)2}𝑑𝑦这里 , , , 是标准的正态分布函数各种免赔额下的纯风险保费为：𝑡>0𝜎>0𝑢∈𝑅𝜑（ ∙）（1 ） 绝对免赔额保费：𝑃𝐹(𝑎)=𝑒𝑥𝑝(𝑢+𝜎22){1‒𝜑(ln𝑎‒𝑢‒𝜎2𝜎 )}（2 ） 定额免赔额保费：𝐹𝐹𝐴(𝑏)=exp(𝑢+𝜎22)∙{1‒𝜑(ln𝑎‒𝑢‒𝜎2𝜎 )}‒𝑏{1‒𝜑(ln𝑏‒𝑢𝜎)}（3 ） 比例免赔额保费：𝑃𝑝(𝑐)=(1‒𝑐)𝑒𝑥𝑝(𝑢+𝜎22)（4 ） 有限比例免赔额保费：𝑃𝐿𝑃(𝑐,𝑚1,𝑚2)=exp(𝑢+𝜎22)∙{1‒𝜑(ln𝑚1‒𝑢‒𝜎2𝜎 )}+𝑚1{𝜑(ln𝑚1‒𝑢𝜎 )‒𝜑(ln(𝑚1/𝑐)‒𝑢𝜎 )}+{𝜑(ln(𝑚1/𝑐)‒𝑢‒𝜎2𝜎 )‒𝜑(ln(𝑚2/𝑐)‒𝑢‒𝜎2𝜎 )}∙𝑐∙exp(𝑢+𝜎22)+𝑚2{𝜑(ln(𝑚2𝑐)‒𝑢𝜎 )‒1}【例 8.4】 计算免赔额下帕累托分布的保费公式。
解】 帕累托分布的分布函数为:𝐹(𝑡)=1‒(λλ +𝑡)𝛼这里 只有当 时帕累托分布的均值才存在关于帕累托分布的𝑡>0,𝛼>0,λ >0, 𝛼>1其他性质，见第三章的帕累托分布当 时，损失分布为帕累托分布时各种免赔额下的𝛼>1纯风险保费为：（1 ） 绝对免赔额保费：𝑃𝐹(𝑎)=1𝛼‒1(𝑎𝛼+λ )( λ𝑎+λ )𝛼（2 ） 定额免赔额保费：𝑃𝐹𝐴(𝑏)=1𝛼‒1(𝑏+λ )( λ𝑏+λ )𝛼（3 ） 比例免赔额保费：𝑃𝑝(𝑐)=(1‒𝑐)λ𝛼‒1（4 ） 有限比例免赔额保费：𝑃𝐿𝑃(𝑐,𝑚1,𝑚2)=1𝛼‒1(𝑚1+λ )( λ𝑚1+λ )𝛼+𝑐𝛼‒1{(𝑚2𝑐+λ )( λ𝑚2𝑐+λ )𝛼‒(𝑚1𝑐+λ )( λ𝑚1𝑐+λ )𝛼}【例 8.5】 计算免赔额下伯尔分布的保费公式.【解】 伯尔分布的分布函数为：𝐹(𝑡)=1‒(λλ +𝑡𝜏)𝛼这里 只有当 时伯尔分布的均值才存在关于伯尔分布的其他性质,见𝑡>0,𝛼>0,𝜏>0. 𝛼𝜏>1第三章的伯尔分布当 ，损失分布为伯尔分布时各种免赔额下的纯风险保费为：𝛼𝜏>1（1 ） 绝对免赔额保费： 𝑃𝐹(𝑎)=λ 1𝜏Γ (𝛼‒1/𝜏)Γ (1+1/𝜏)Γ (𝛼) {1‒𝐵(1+1𝜏,𝛼‒1𝜏, 𝛼𝜏λ +𝛼𝜏)}（2 ） 定额免赔额保费：𝑃𝐹𝐴(𝑏)=λ 1𝜏Γ (𝛼‒1/𝜏)Γ (1+1/𝜏)Γ (𝛼) {1‒𝐵(1+1𝜏,𝛼‒1𝜏, 𝑏𝜏λ +𝑏𝜏)}‒𝑏( λλ +𝑏𝜏)𝛼（3 ） 比例免赔额保费：𝑃𝑝(𝑐)=(1‒𝑐)λ 1𝜏Γ (𝛼‒1/𝜏)Γ (1+1/𝜏)Γ (𝛼)（4 ） 有限比例免赔额保费：PLP(𝑐,𝑚1,𝑚2)=𝜆1/𝜏(𝛼‒1/𝜏)Γ(1+1/𝜏)Γ(𝛼) ∙{1‒𝐵(1+1𝜏,𝛼‒1𝜏, 𝑚1𝜏𝜆+𝑚1𝜏)}+𝑐𝐵(1+1𝜏,𝛼‒1𝜏, (𝑚1/𝑐)𝜏𝜆+(𝑚1/𝑐)𝜏)‒𝑐𝐵(1+1𝜏,𝛼‒1𝜏, (𝑚2/𝑐)𝜏𝜆+(𝑚2/𝑐)𝜏)‒𝑚1( 𝜆𝜆+𝑚1𝜏)𝛼+𝑚1( 𝜆𝜆+(𝑚2/𝑐)𝜏)𝛼‒𝑚2( 𝜆𝜆+(𝑚2/𝑐)𝜏)上述公式中，函数 和 分别意义为：Γ（ ∙） Β（ ∙,∙,∙）Γ（ 𝑎） =∫∞0𝑦𝑎‒1𝑒‒𝑦𝑑𝑦Β(𝑎,𝑏,𝑥)=Γ(𝑎+𝑏)Γ(𝑎)Γ(𝑏)∫𝑥0𝑦𝑎‒1(1‒𝑦)𝑏‒1𝑑𝑦【例 8.6】 计算免赔额下威布尔分布的保费公式。
解】 威布尔分布的分布函数如下：𝐹(𝑡)=1‒𝑒‒𝛽𝜄𝜏这里 .威布尔分布的保费公式为：𝑡>0,𝜏>0,𝛽>0（1 ） 绝对免赔额保费：𝑃𝐹(𝑎)=Γ(1+1𝜏)𝛽1𝜏 {1‒Γ(1+1𝜏,𝛽𝑎𝜏)}（2 ） 定额免赔额保费：𝑃𝐹𝐴(𝑏)=Γ(1+1𝜏)𝛽1𝜏 {1‒Γ(1+1𝜏,𝛽𝑎𝜏)}‒𝑏𝑒‒𝛽𝑏𝜏（3 ） 比例免赔保费：𝑃𝑝(𝑐)=(1‒𝑐)𝛽1/𝜏Γ(1+1𝜏)（4 ） 有限比例免赔额保费：𝑃𝐿𝑃(𝑐,𝑚1,𝑚2)=Γ(1+1𝜏)𝛽1𝜏 {1‒Γ(1+1𝜏,𝛽𝑚1𝜏)}+𝑐Γ(1+1𝜏)𝛽1𝜏 Γ{1+1𝜏,𝛽(𝑚1𝑐)𝜏}‒𝑐Γ(1+1𝜏)𝛽1‒𝜏Γ{1+1𝜏,𝛽(𝑚2𝑐)𝜏}‒𝑚1exp(‒𝛽𝑚1𝜏)+𝑚1exp(‒𝛽(𝑚1𝑐)𝜏)‒𝑚2exp(‒𝛽(𝑚2𝑐)𝜏)上述公式中不完全伽玛函数 定义为：Γ（ ∙,∙）Γ（ 𝑎,𝑥） =1Γ(𝑎)∫𝑥0𝑦𝑎‒1𝑒‒𝑦𝑑𝑦 第九章 风险过程模型第一节 Poisson 过程Poisson 过程是一类最重要的理赔到达过程，许多其他的理赔到达过程能够通过对Poisson 过程的变换而得到。
定义 9.2 随。