6.1 平面向量的概念第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算6.2.2 向量的减法运算6.2.3 向量的数乘运算6.2.4 向量的数量积6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示6.3.5 平面向量数量积的坐标表示6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法6.4.2 向量在物理中的应用举例6.4.3 余弦定理、正弦定理1.在学习物理时，学过力、位移、速度，它们有什么共同属性呢？下面我们一起来学习这些既有大小，又有方向的量吧！概念：我们把既有大小，又有方向的量，叫做向量.把只有大小，没有方向的量叫做数量.举出你知道的向量与数量的例子.如，向量：作用力、反作用力、加速度等；数量：身高、体重、面积、质量等.问：数量可以用数轴上的点来表示吗？可以，因为数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量.如何表示向量呢？具有方向的线段叫做有向线段.有向线段的三要素：起点、方向、长度.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.例1 在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.1.回答下列问题：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）（不一定）（零向量）（零向量）（平行向量）（长度相等且方向相同）（不一定）2.如图，EF是ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：7521.向量的定义；2.有向线段的三要素及向量的几何表示；3.向量的模、零向量、单位向量的定义及表示；4.平行向量、相等向量、共线向量.6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算1.向量的定义：一起来探究吧！2. 想一想：实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量能进行运算吗？1.如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ABC求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.BAOCFAOBCOABOABCBAOBAOOAB数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？BADCABCD综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1）.ABDCABDC解：（ ）（ ）（ ）5.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际航行速度的大小与方向.1.向量的加法；2.向量加法的三角形法则；3.向量加法的平行四边形法则；4.向量形式的三角不等式；5.向量加法的运算律.6.2 平面向量的运算6.2.2 向量的减法运算1.向量的加法运算法则：2. 想一想：在数的运算中，减法是加法的逆运算，减去一个数等于加上这个数的相反数.类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？零向量的相反向量是零向量.向量的减法法则：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.1.相反向量的概念；2.向量的减法法则；3.向量减法的几何意义.6.2 平面向量的运算6.2.3 向量的数乘运算2FkF向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.实数与向量的积与原向量之间的位置关系.实数与向量的积与原向量共线.定理：1.向量的数乘；2.向量数乘的运算律；3.向量的线性运算；4.向量共线定理.6.2 平面向量的运算6.2.4 向量的数量积 复习：我们已经学过了向量的哪些运算？向量的加法、减法、数乘运算.问题1 那么向量与向量能否相乘呢？问题2 在物理课中，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如何计算力F所做的功？问题3 能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？观察力做功的计算公式，发现公式中涉及力与位移的夹角，所以先来定义向量的夹角概念.规定：零向量与任一向量的数量积为0.向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.向量数量积的性质：向量数量积的运算律：1.向量数量积的概念；2.投影向量；3.向量数量积的性质；4.向量数量积的运算律.6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理思考 根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？平面向量基本定理：基底：任一向量都可以由同一个基底唯一表示.AB1.平面向量基本定理；2.基底.6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 复习：平面向量基本定理：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.垂 直问题2 在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，能否在坐标系中表示向量呢？向量能否也可以用坐标表示呢？CD1. 平面向量的正交分解；2. 平面向量的坐标表示.6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.BB(4 , 1)1. 平面向量加、减运算的坐标表示；2. 用终点和起点坐标求向量坐标.6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.问题3 如何用坐标表示两个向量共线的条件？DB(1 , 2)1. 平面向量数乘运算的坐标表示；2. 用坐标表示向量共线的条件；3. 中点坐标公式的推导与应用.6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.5 平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.问题2 用坐标表示向量的模.如何用坐标表示两个向量垂直？BB121.平面向量数量积的坐标表示；2.用坐标表示两个平面向量的夹角；3.用坐标表示平面向量垂直的充要条件.6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法复习 （1）向量加法的三角形法则、平行四边形法则； （2）向量平行、垂直的判断方法；用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.例2 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？C等边三角形21. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；2. 用向量方法解决平面几何问题的应用.6.4 平面向量的应用6.4.2 向量在物理中的应用举例上节课学习了向量在平面几何中的应用，下面我们在实例中一起来探究向量在物理中的应用.例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.CA用向量方法解决物理问题.6.4.3 余弦定理、正弦定理第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理a2=b2+c22bccosA，b2=c2+a22accosB，c2=a2+b22abcosC余弦定理推论余弦定理推论余弦定理推论余弦定理推论 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形解三角形解三角形解三角形1判断对错(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况 ()(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广 ()(3)已知ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状 ()练习练习练习练习2在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，则角A等于()A30B60C120D150BCAC6.在ABC中，(bc)(ca)(ab)456，则此三角形的最大内角为_1207已知a，b，c为ABC的三边，B120，则a2c2acb2_答案：0b2a2c22accos Ba2c22accos 120a2c2ac，a2c2acb20.08.在ABC中，basinC，cacosB，试判断ABC的形状本节课学习了余弦定理及其推论正弦定理正弦定理正弦定理正弦定理 正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系。
利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题解三角形解三角形解三角形解三角形练习练习1判一判（正确的打“”，错误的打“”）(1)正弦定理只适用于锐角三角形 （ ）(2)在ABC中必有asinAbsinB. （ ）(3)在ABC中，若AB，则必有sinAsinB.（ ）D D D DB B B B4.在ABC中，有下列关系式：asinBbsinA；abcosCccosB；a2b2c22abcos C；bcsinAasinC一定成立的有()A1个 B2个C3个 D4个 答案：C 对于，由正弦、余弦定理，知一定成立对于，由正弦定理及sin Asin(BC)sinBcosCsinCcosB，知显然成立对于 ， 利 用 正 弦 定 理 ， 变 形 得 sin B sinCsin A sinAsinC2sinAsinC，又sinBsin(AC)cosCsinAcosCsinA，与上式不一定相等，所以不一定成立故选C.C C C C5.在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()Aa7，b14，A30 Ba30，b25，A150Ca6，b9，A45 Da30，b40，A30D D D DA A A A7.在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b2a，BA60，则A_.30303030本节课学习了正弦定理。
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线一般来说，基线越长，测量的精确度越高 下面我们通过几道练习题来说明这种情况需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案距离问题距离问题距离问题距离问题ABC54高度问题高度问题高度问题高度问题BA30角度问题角度问题角度问题角度问题A 本节课学习了正弦定理、余弦定。
