中考真题及评分标准1、（本题满分10分）（第25题图）AxyBCO如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 解：（1）∵抛物线=－++经过点A（0，－4）， ∴=－4 ……1分又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，∴+=， =－=6 2分由已知得（-）=25又（-）=（+）－4=－24∴ －24=25 解得=± 3分当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴=－． 4分 （2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分 又∵=－－－4=－（+）+ 6分 ∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分 （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P必是直线=-3与抛物线=－--4的交点， 8分 ∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4， ∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分2、（广东肇庆25题）（本小题满分10分）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.解（1）由5=0， （1分）得，． （2分）∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （3分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （4分）分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有=S - - （5分） =-- （6分）=5（个单位面积） （7分）（3）如：． （8分）事实上， =45a2+36a． 3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a． （9分）∴． （10分）3、（新疆自治区24题）（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？解：（1）设抛物线的表达式为 1分点在抛物线的图象上．∴ 3分∴抛物线的表达式为……4分（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）已知窗户高1.6m，∴…….5分（舍去）……….…6分∴（m）………..….7分又设最多可安装n扇窗户∴………………….9分．答：最多可安装4扇窗户． 10分（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）4、（广东梅州23题）23．本题满分11分．如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 解： （1） DC∥AB，AD=DC=CB， ∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0.5分 ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， 1分∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， 1.5分 ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分RtAOD，OA=1，OD=， 2.5分A（-1，0），D（0， ），C（2， ）． 4分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），故可设所求为 = （+1）（ -3） 6分将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．所求抛物线的解析式为 = 7分其对称轴L为直线=1． 8分（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， P1DB为等腰三角形； 9分②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5． 10分由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．5、（湖北十堰25题）已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，∴AB＝4．∴在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，∴∴b＝ ………………………………3分当时，∴ ………………………………4分∴ ………………5分⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分说明：少求一个点的坐标扣1分．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴点M的坐标为． ……………………………12分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。
6、（江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究xlQCPAOBHRy如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：①四边形为平行四边形；②平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．（1）法一：由题可知．，，． （1分），即为的中点． （2分）法二：，，． （1分）又轴，． （2分）（2）①由（1）可知，，，，． （3分），又，四边形为平行四边形． （4分）②设，轴，则，则．过作轴，垂足为，在中，．平行四边形为菱形． （6分）（3）设直线为，由，得，代入得： 直线为． （7分）设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，，解得．得公共点为．所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）- 9 - 。