P109--例1 微分方程满足的特解为 ．解：解得，由则方程的特解为 或 P109--例2 微分方程的通解为 ．解：为齐次方程令，而，比较两式得有 为方程的通解P109--例3 微分方程 满足的解为 ．解：方程即为 ，通解为：由，所以P110--例4 微分方程的通解为 ．解：， 通解为P110--例5 设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，求与．解：因为是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，即有 ， 由为的解，即得可得即为同理：由为的解，可得，则由P110--例6 设函数具有一阶导数，且满足，求函数．解：设，则，两边对求导，得 ，由已知又 则P110--例7 设，其中满足下列条件：，，且，．① 求满足的一阶方程； ② 求的表达式． 解：(1) 由 ,可见，所满足的一阶微分方程为．(2) ．将代入上式，得.于是，．．P111--例1 解方程．解：的特征方程为则方程的通解为P111--例2 解方程． （数一，数二）解：的特征方程为则方程的通解为 P112--例1 写出下列方程的特解形式．①；解：的特征方程为由于不是特征根，故可设原方程的一个特解为② ；解：的特征方程为由于是特征重根，故可设原方程的一个特解为③；解：的特征方程为由于不是特征根，故可设原方程的一个特解为④；解：的特征方程为由于是特征单根，故可设原方程的一个特解为⑤；解：的特征方程为由于是特征根，故可设原方程的一个特解为⑥．解：的特征方程为对，由于不是特征根，故可其一个特解为对，由于是特征根，故可其一个特解为则原方程的一个特解可设为P112--例2 方程的通解为 ．解：的特征方程为，则齐次方程的通解为 ，由于是特征单根，故可设原方程的一个特解为，将代入原方程，解得，则原方程的通解为P112--例3 解方程解：，而 ① 若， 设特解为，代入方程解得 ，所以特解为： ，则通解为② 若，设特解为， 代入方程解得 ，所以特解为： 则通解为P113--例4 ①验证函数 满足方程；②利用①的结果求级数的和函数．① 因为 则② 二阶常系数微分方程相应的齐次方程为 , 其特征方程为特征根为 因此齐次微分方程的通解为设非齐次方程的特解为, 代入原方程得 于是, 原方程的通解为显然满足初始条件，代入得 故幂级数的和函数 P113--例1利用变量代换 ()化简微分方程，并求满足，的特解．解：，代入原方程得由，，解得则方程的满足，的特解为 .P113--例2设在内有二阶导数且，①试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程． ②求变换后的微分方程满足初始条件，的解．解： ， 代入原方程得由，，解得则方程的满足初始条件，的特解为 P113--例3设函数具有二阶连续导数，而满足方程，求.解：由，设，代入到中得：，即有 P114--例1 设 其中为连续函数，求．解：原方程整理得 ，两边求导 ，再两边求导得 ，整理得 （初始条件到原方程中找）解得P114--例1例1 设，，都是非齐次线性方程的特解．，为任意常数，则函数( D ) ．(A)是方程的通解 (B)不是通解(C)是特解 (D)可能是也可能不是通解，但一定不是特解P114--例2 设为某二阶常系数齐次线性方程的通解，则该方程为 ．解： 是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，即有为所求二阶常系数齐次线性方程.P114--例3 函数满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是 ．解： 是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，即有为所求二阶常系数非齐次线性方程对应的齐次方程.设二阶常系数非奇次线性方程为，将代入上式，可得则函数满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是P114--例4 已知为某二阶线性非齐次方程的三个特解，求其通解及该方程．解： 均为对应的齐次方程的特解，所以为特征方程的两个根. 则对应的齐次方程为 设所求非齐次方程为 ，把代入方程可得：所以原方程为 .其通解为 P115--例1 方程的通解为 ．解：令，原方程变为 所以P115--例2 方程，满足，的特解为________．解：令，原方程变为 ，由所以 由则为方程，满足，的特解.P115--例3 解方程 ．解：令，原方程变为 通解为，即代入初始条件得， 则为所求.P116--例1 方程 的通解为 ．（数学一）解：令，上方程化为 通解为P117--例1 设曲线位于平面的第一象限， 上任一点处的切线与轴总相交，交点记为．已知， 且过点．求的方程． 解：设曲线上任一点，则点的切线方程为：，令，可得过点处的切线与轴的交点为：，因为，即有 即 为齐次方程，， 对（*） ，令即有 ， 解得由于过点，则， 则 P117--例2 设是第一象限内连接点的一段连续曲线，为该曲线上任意一点，为在轴上的投影． 若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为， 求的表达式． 解：由题设有：为积分方程，且，两边对求导得 ，整理得： 为一阶线性非齐次方程，解得由于 ， 则 P118--例3 设曲线，其中是可导函数，且．已知曲线与直线，及（）所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程．解法1:由题意知 ，两边对求导得，代入得或（舍去）．再求导得 ． 记，则 ，其通解为 ，代入，得，从而 ，故所求曲线方程为 ．解法2：由题意知 ，两边对求导得 ， 代入得或（舍去）．再求导得 ． 整理得 ．设，则 原方程变成 ．分离变量得 ，即 ，积分得 ，即 ．代入 得，所以 ．代入并化简得，即 ．故所求曲线方程为 ．P118--例4 设函数二阶可导且，．过曲线上任一点作该曲线的切线及轴的垂线．上述两直线与轴围成三角形面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1．求此曲线方程． 解：点的切线方程为由已知，整理得： ， 两边求导得 P118--例5 一个充满气体的气球突然破了一个孔，漏气的速率正比于球内气体的质量，比例系数．设球内原有气体100克，如果孔破后一分钟内还有20克气体，问什么时候球内剩下1克气体?解：应建立球内气体质量与时间的关系式漏气的速率即球内气体质量的变化率，由题意得，解得 又当时，P119--例6 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例系数．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内融化了其体积的．问雪堆全部融化需多少小时?解：需建立体积与时间或半径与时间的关系式，据题意有，而已知由题意所以，当时（即雪堆全部融化），此时，P119--例7 初始质量为克，在空气中自由落下的雨点均匀地蒸发．设每秒蒸发克，空气阻力和雨点速度成正比，比例系数为． 如果开始雨点速度为0，试求雨点运动的速度和时间的关系式．解：设，经过时间，雨点的质量为一方面； 另一方面有牛顿第二定律有：解得，由所以 P119--例8 设有一质量为的飞机着陆的水平速度为， 经测试，减速伞打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数)，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? 解：由 由当时，P120--例1 差分方程的通解为 ．（仅数三）解：特征方程为，对应齐次方程的通解为．不是特征方程的根，故设特解，代入方程得．原方程的通解为 ．P120--例2 差分方程的通解为 ．（仅数三）解：方程化为，特征方程为 ，对应齐次方程的通解为．不是特征方程的根，故设特解为，代入原方程得，，．所以原方程的通解为 ．12。