第二章《有理数及其运算》知识概括有理数、知识网络五种计算1、加法：分同号与异号两类2、减法：用相反数变为加法来计算3、 乘法：分同号与异号两类4、 除法：用倒数变为乘法来计算5、乘方：是乘法的简便记法其实还是乘法！二、重要概念1、 正数：比 0大的数叫正数2、 负数：比 0 小的数叫负数3、 0：唯一的即不是正数也不是负数的有理数它是正数与负数的分界点4、 有理数：整数和分数统称为有理数5、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线任何有理数都可以在数轴上表示出来！但数轴上还有其他不是有理数的数！6、 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数7、 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值8、 倒数：乘积为 1 的两个数叫做互为倒数9、 乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方其中相同的因数a叫底数，表示a的个数的n叫做指数10、 幂：乘方的结果叫做幂11、 非负数：不是负数的数，包括 0和正数若a为非负数，则a 0绝对值、偶次方等这几种计算结果一定是非负数！12、 自然数： 0 和正整数叫做自然数13、 正整数:1、2、3、4、5……叫正整数14、 负整数：一1、一2、一3、一4、一5 叫做负整数。
三、重要规律1、 数轴上的数右边的总比左边的大；原点右边的数越来越大；原点左边的数越来越小2、 两个负数，绝对值大的反而小3、 有理数加法：同号一边倒；异号大减小，符号跟着大的跑4、 非负数和的规律：几个非负数之和为0，那么这几个数都是05、 有理数积的规律：（1）几个有理数积为0，那么这几个数中到少有一个为0；（2） 几个有理数积小于0，那么这几个数中的负数为奇数个；（3） 几个有理数积小于0，那么这几个数中的负数为偶数个6、 减去一个数等于加上这个数的相反数7、 有理数乘法：同号得正，异号是负，并把绝对值相乘8、 乘方规律：（1）正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数；（2） 10的n次方就是在1后面加上n个0；（科学计数法的基础）3)互为相反数的两个数偶次方相等；奇次方互为相反数即：(—a)2“ = a2n (—a)2n-1 = - a2n一 1四、重要公式1、 数轴上两点AB间的距离：I A — B I (距离不可能为负数) 如：－1 与 5 的距离为： |－1－5|=6也可 15—(一 1) 1=6A + B2、 数轴上两点AB间的中点C： C=〜如图：如：一2与10的中点位置为：-2；1。
二43、互为相反数的两个数绝对值相等： Ia－b I=Ib－aI如： I3－8I=I8－3I4、互为相反数的两个数偶次方相等：(a —b)2 = (b—a)2五、典型例题1、 有理数的混合运算： 加减乘除乘方混合计算，注意最先算乘方(不要与乘法混淆)，接着计算乘除，除法通过倒数变 成乘法来计算最后计算加减！两个符号可以省略成一个为计算！计算：(-3)X[2 3 — (—4)]+ (—1)2012x6^( — 3 )2、计算：(—2)1 0 + (一2)101(—2) 2007 + (—2) 20083、 非负数的性质规律：几个非负数的和为 0，则这几个数都为 0 (说两个非负数互为相反数也是说它们的和为 0)二 0，求 3 x + 2 y — xy 的值已知I x + 3 |+(y—2)24、利用相反数计算（拆项法）1 1 1 1 1 1 1 1 1计算： —+ — + + + + + + + = ?2 6 12 20 30 42 56 72 90转化思想)六、难点知识1、已知abc丰0,求 + + 的所有值(分类思想)a |b | c2、求：3 + 32 + 33 + 34 + 35 +……+ 3100 （类比思想、转化思想）3、 24 点的计算多积累，多思考，多总结！参考资料：7X（3 + 3宁7） =249X10 宁 6+9=24 （3-13^13）X12=24（4-4^7）X7=24 （1 + 11X13）宁 6=24（13-10）X10-6=245X（5—1 宁 5） =24 （5-11^7）X7=242X9+1+5=244 宁（1 — 5 宁 6） =24 （13X5 + 7）宁 3=24 7X9-13X3=248 宁（3 —8 宁 3） =2412 宁（12 宁 8 — 1） =244X11-10-10=24 （7-11^5）X5=246 宁（1 — 3 宁 4） =24 2X 7+ 2X 5=24利用换元法计算1 1 1 1计算：（1 + + + ） x （ +11 13 17 111+13用一个字母表示其中一个括号内的式子，计算较为简便111 解：设(—+ + ) = a11 13 1711贝I」原式=(1 + a) x (a + J9)_(1 + a + J9)x a丄+丄）-（1 +丄+丄+丄+丄川丄+丄+丄）17 19 11 13 17 19 11 13 171 1 1=a + + a2 + a 一 a 一 a2 一 a19 19 19119你看懂了吗？规律：一般用字母表示较小那个式子，其中（1 + a） x （a +丄）的计算特别注意:如图：(1 + a) x (a + )也就是说第一个括号内的1 先要和第二个括号内的两个数相乘然后第一个括号内的a先要和第二个括号内的两个数相乘，最后再把四次相乘的结果一起相加！5、 进乘方与二进制 我们常用的数是十进制，相邻数位之间的进率为10。
每个数位上可以有十个数字： 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9如2305中的2在千位上表示2个千， 3在百位上表示3个百， 5在个位上表示5个一 即：2305=2xl°3 + 3xlO2 + 0x 10i + 5 xlOo（ lOo 二 1）你能用乘方形式表示以下数吗？（l）30846l （2）888888888 （3）24a3bl （a 是千位上的数， b 是十伴上的数）（4） ab厂 （a在千位上b在十位上c在个位上）在计算机世界里经常采用的是二进制，每位上只有两个数字：0和1相邻数位之间有进率为2这 是因为电源只有两种状态：开和关计算机就利用元件的开和关很好地表示1与0就可以表示数了！如 二进制下的 11 表示：ll=1x21 + lx2 2 +1 = 3 （ 2o = 1）女口： 101010=1x 25 + 0 x 24 +1X 23 + 0 x 22 +1X 21 + 0 x 2o =32+0 + 8 + 0+2+0=42你能把下列二制数表示成我们常用的十进制数吗？1)1111 (2)101 (3)1111011你还能把我们十进制数7表示成二进制数吗？。