概念坐标 表示运算定比 分点 公式平行垂直夹角空间向量知识点I=Jl==l空间向量的有关概念和公式空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间 如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量uur r uur rOA = a = (x , y , z ), OB = b = (x , y , z ),1 1 1 222uur uur uurAB = (x - x , y - y , z - z ) . AB = - BA2 1 2 1 2 1-r~r 贝 y a + b = (x + x , y + y , z + z ), a - b = (x1 21 21 2 -r r rXa = (Xx ,Xy ,Xz )(X e R), a -b =I a II b I cos < a, b >= x x + y y + z z , 1 1 1 12 12 12uuu uuur设点P分有向线段o所成的比为入，即PP八PP ,1 2x +Xx y +X y z +X zx = t 2 , y =厶 2 , z = t 2 ( X e R 且 X 丰 1)1+ X y 1+ X 1+ Xx + x y + y中点公式： x = f^ 2, y = f^ 2x + x + x三角形重心公式：x = T 2 3， y = 3r r,-x ,y -y ,z -z ),1 2 1 2 1 2r r r r23uurA(x , y , z ), B(x , y , z )，则 AB = (x - x , y1 1 1 2 2 2 2 1 :uunI AB I=「(x -x )2 + (y - y )2 + (z - z )2"12 1 2 1 2r r . r ra = (x, y, z) ； I a I =、：'x2 + y2 + z2 ； I a b = a2r ra // b o a =Xb , a =Xb , a =Xb (X e R)，1 1 2 2 3 3z + zz = T 22y + y + yICC1 2 3、x y z(或 f = 1 = 1)x y z2 2 2r r r r r ra 丄b o xx + y y + z z = 0. (a 丰 0,b 丰 0 ) 1 1 2 2 3 3nra・bcose = r—r = —j=xx + y y +z z1 1 2 2 3 3I a II b I x 2 + y 2 + z 21 1 1•建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻 边为x轴，y轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为x轴，y轴；3、 底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为x输y轴；4、底面为平 行四边形，常以一条边为x轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为y 轴。
空间向量的应用(1)方法分类1、求平面a的法向量若 aB = (x , y ,z )， AC = (x , y ,z )， AC I AB = A,111 222AB, AC ua ,设£= (x, y, z)是平面a的法向量,图形xx + yy. + zz = 0=02n= (x ,y ,z )0 0 01 1 1xx + yy + zz2 2（取x二xo，得到其中的一组解:而x0,y0,zo常取简单整数）2、证明线面平行设^是平面的法向量，AB ,贝y：AB II a o AB• n= 03、证明面面垂直设L分别是平面a,卩的法向量，则:4、求两条异面直线间的距离先求两条异面直线的一个公共法向量,再求两条异面直线上 两点的连结线段在公共法向量上的射影长设a、b是异面直线，n是n、b的公共法向量，点E g a, F g b，则异面直线£、b之间的距离d J问"5、求点到平面的距离设P为平面a外一点，点A为平面a内的任一点，平面a 的法向量为n，过点P作平面a的垂线PO ,ZOPA = 9，则点P到平面a的距离：d =|PO卜 |pa|cos9 = |pA| -n. pa阳PAPA ~JT因此，点P到平面么的距离：d二n. pa空间向量的应用（2）6、求直线和直线所成的角若直线AB,CD所成的角是0 ,AB - CDcos0 = cos < AB, CD > =AB - CD7、求直线和平面所成的角已知PA为平面a的一条斜线，为平面a的一个法向 量，过P作平面a的垂线PO，连结OA，则ZPAO为斜线PA和平面a所成的角，记为0 ,易得sin 0 = cos < OP, AP > =艸pa|8、已知两平面的法向量，求二面角的大小处 |pa|在二面角中a— 1 -卩，珥和笃分别为平面a和0的法向量，若二面角1 一卩的大小为0，贝y：in - n= i 21（依据两平面法向量的方向或实际图形，来确定0是锐角 或是钝角） 8、已知二面角棱的两垂线，求二面角的大小在二面角 a — 1 — 0 内，AB ua, AB 丄 1,CD ucos0 = cos < n , n >1 2cd丄1,设°为二面角a —1 —卩的大小，贝y：cos 0 二 cos < AB, CD〉= JAB1CDAB - CD(1)写出 A、B1、E、D1 的坐标；(2)求AB1与D1E所成的角的余弦值.解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)(2) J 1AB = (0, — 2, 2), ~ED = (0, 1, 2) I IaB I = 2忑,I ~ED I =远,1 1 11 后]・ ID、=0—2+4 = 2,• 弋”、 AB 1 • EDa 2 寸10 . ― …十亠厶匚&…cos〈 AB1，ED1〉= 一= 2占X"y = 10 .…AB1 与 ED1 所成的角I ABJ・I ED1I 2T d 5的余弦值为嚅.2、在直三棱柱ABC—A]B]C]中，已知CA丄平面ABB1A1, AB=AA1 = 1.(1)求证：A1B丄平 面AB1C；⑵若AC=2,求点A到平面BB1C1C的距离；(3)若二面角B—B&—A为600, 求 AC 的长.ABC - ABC是正三棱柱、1 1 1(1)证：CA丄平面ABBA中点 卜二11AB=AA 二 11AB丄AC 、i四边形ABB A是正方形n AB丄AB \ n1 1 1 1AC I AB = A1A”丄平面AB1C(2)解：•・•平面ABC丄平面BB]C]C,・•・点A到平面BB1C1C的距离即为A到BC的距离, 作AD丄BC,BC=\ 5 ,・•・A到平面BB1C1C的距离AD =ABgACBC(3)解：(空间向量法)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-BA1C，则B ( 1, ur0, 0), B, (1, 1, 0), C (0, 0, c),平面 AB,C 法向量n = (—1 , 1 , 0),平面 BB,C 1 1 1 1ur uuur uur 「y 二 0法向量n = (x , y , z) , BB = (0 , 1 , 0) , BC = (— 1 , 0 , c),・{ , A令2 1 [—x + cz 二 0uurz=1,则 x=c ,・ n = (c , 0 , 1),2uruurIn n I I—cI 1 c 1Cos600= g 师= =—,・ =—,4c2 = 2c2 + 2 ,解得 c=1 ,I 件 II “2 I y]2gjc2 +1 2 V2 Wc2 +1 2所以 AC 长为 1 。