1※※度量的认知过程（摘自度量的认知过程（摘自《《小学数学研究小学数学研究》》 ，高等教育出版社，第，高等教育出版社，第 8 章）章）度量的认知过程生活中有六种常用的量，是可以用感官和工具来测定的，包括长度、重量、容量、角度、面积、体积这些量的测定有两种，一种是定性分析，一种是定量分析定性分析就是回答“谁长？谁短？” ，而定量分析是回答“他们各有多长？” 儿童在测定量的时候常常会经历直接比较和间接比较这两个阶段从思维上讲，这两个阶段既是区分的，又不是完全割裂的长度的度量是可以用感官和工具来测定的，从思维发展来说，长度度量的几个阶段：第一个阶段，长度的初步感知；第二个阶段，长度的直接比较；第三个阶段，长度的间接比较；第四个阶段，用统一的单位来比较；第五个阶段，长度单位概念体系的形成首先要帮助学生形成对长度的初步感知实际上小学生在生活中很早就有了“长”与“短”的经验小学生能够通过视觉来比较物体的长短，这也就是定性分析例如比较图中操场上旗杆的长短和四位小朋友的身高在左边的图中，提出的问题是，哪一面旗子最高？在右边的图中，提出的问题是谁最高？谁最矮？按身高将名次排出来视觉是人先天就有的，它是人了解周围客观世界的一种重要的手段，视觉对促进人的多元智能的发展起着重要的作用。
运用视觉判断得出物体的长短是定性比较这里，学生已经能够通过视觉比较出对象的长短，说明他们已经初步形成了长度的概念学生初步形成长度的概念以后，接下来我们要创造条件，让学生能够进行长度的直接比较，图中有三根长短不一的跳绳，现在的问题是哪根最长？哪根最短？教师要帮助学生注意，在比较的时候要将三根跳绳的一端都对齐现在这三位小朋友可以说谁的跳绳最长，谁的跳绳最短了，这就是直接比较再例2如，让学生拿出所有的铅笔，比一比哪一根最长？拿出所有的书，看哪本最厚？明信片是横长还是竖长呢，学生通过折叠以后就可以比较出，是横的一边长还是竖的一边长上述活动都是直接比较间接比较的关键是找到量具，找量具的过程可以分成两个阶段：第一阶段就是找身边的东西，例如脚步，脚底、 “” （大拇指和食指张开后的长）或小木棍来量物体的长度用脚步可以量教室、量走廊、量体操房，量校舍，量校园的长度；用脚底可以量门宽，橱宽，走廊宽；用“”可以量课桌，图画，窗台，黑板，饭桌等少部分学生由于生活当中已经有了用尺来量东西的经验，例如他看见过他的父母是用尺来量东西的，他会直接用尺来量，但他对尺的含义与刻度往往没有深入的理解由于学生各人的脚步、脚底、 “”或找到的小木棍长短是不一样的，所以对同一物体量得的数据是不一样的，学生就会提出疑问：为什么不一样？上面这幅图是教师让同学用“”来量讲台，最后量出的结果是不一样的，学生就产生了疑问，为什么不一样？这时候教师就可以很自然地引导学生去找统一的度量工具。
找量具的第二个阶段在这里就是让学生找到或发现统一的度量单位，也就是厘米尺、卷尺，用厘米尺和卷尺来量东西学生在这里还要认识“尺” ，对尺上的刻度进行分析和理解这里学生首次间接比较的关键是找到量具，找量具的过程可以分成两个阶段：第一阶段就是找身边的东西，例如脚步，脚底、 “” （大拇指和食指张开后的长）或小木棍来量物体的长度用脚步可以量教室、量走廊、量体操房，量校舍，量校园的长度；用脚底可以量门宽，橱宽，走廊宽；用“”可以量课桌，图画，窗台，黑板，饭桌等少部分学生由于生活当中已经有了用尺来量东西的经验，例如他看见过他的父母是用尺来量东西的，他会直接用尺来量，但他对尺的含义与刻度往往没3有深入的理解由于学生各人的脚步、脚底、 “”或找到的小木棍长短是不一样的，所以对同一物体量得的数据是不一样的，学生就会提出疑问：为什么不一样？上面这幅图是教师让同学用“”来量讲台，最后量出的结果是不一样的，学生就产生了疑问，为什么不一样？这时候教师就可以很自然地引导学生去找统一的度量工具找量具的第二个阶段在这里就是让学生找到或发现统一的度量单位，也就是厘米尺、卷尺，用厘米尺和卷尺来量东西学生在这里还要认识“尺” ，对尺上的刻度进行分析和理解。
这里学生首次形成了长度单位的概念，随着学生学习的发展，逐步建立长度单位的概念体系我们可以发现，原来对课桌椅，不同的学生用“”去量，得到的结果是不同的，现在不同的学生用厘米尺或卷尺去量，量出来是一样的，都是 60 厘米，这个例子就生动地让孩子们知道，要用统一的度量单位去量物体的长短形成了长度单位的概念，随着学生学习的发展，逐步建立长度单位的概念体系我们可以发现，原来对课桌椅，不同的学生用“”去量，得到的结果是不同的，现在不同的学生用厘米尺或卷尺去量，量出来是一样的，都是 60 厘米，这个例子就生动地让孩子们知道，要用统一的度量单位去量物体的长短面积面积的概念很早就形成了在古代埃及，尼罗河每年泛滥一次，洪水给两岸带来了肥沃的淤泥，但也抹掉了田地之间的界限标志水退了，人们需要重新划出田地的界限，这就必须丈量和计算田地于是，逐渐有了面积的概念一、面积的含义一、面积的含义物体的表面是有大小的，面积是对一个物体的表面多少的测量物体的表面或围成的图形表面的大小通常叫做它们的面积面积在这里， “面”是“有长有宽而没有厚度”的一种“形迹” ，而这种形迹并不一定必须4是“平面”的对立体物体表面多少的测量，一般称表面积表面积；面积面积一般是指对一个平面图形的表面多少的测量。
例如，下面的图形所围成的区域所覆盖的表面的大小分别是矩形、圆、梯形、三角形的面积而图 2 中的阴影部分就是圆环所围成的区域，其所占区域的大小度量就是它的面积图 3人们规定，将边长为将边长为 1 米的正方形的面积设定为米的正方形的面积设定为 1 平方米平方米于是，对于边长为 a 米、b 米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为 1 米的正方形，进而，这个矩形就由 ab 个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为 ab 平方米如果利用米作为单位，不能度量尽矩形的边，那么，还可以用更小的单位作为面积单位，即用米（即 1 分米） 、米（即厘101 1001米）替代米作为单位，继续度量矩形的边，进而，用平方分米、平方厘米作为面积单位，将矩形分割为若干个面积单位这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的比” 于是，由此可以得出：边长为 a、b 的矩形的面积为 aba a a图 4对于长为 a、高为 h 的平行四边形，利用割补的方法（如图 4 所示） ，可以将其化成边长依次为 a、h 的一个矩形，进而，平行四边形的面积为 ah。
同样地，利用两个全等的三角形可以拼接成一个平行四边形，两个梯形可以拼接成一个平行四边形，我们同样可以推导出三角形的面积公式以及梯形的面积公式如图 5 所示在现实生活中，面积的测量单位主要包括：平方米、公亩、公顷、平方公里等等，其hhh图 55中的换算关系如下：平方米——国际标准单位公亩——100 平方米公顷——10,000 平方米平方公里——1,000,000 平方米此外，有时也使用面积的市制单位平方市里、平方市尺，其中，一平方市里等于 0.25平方公里，1 平方市尺等于 1/9 平方米当然，目前，在台湾还是用台湾甲、坪，即一个台湾甲等于 9,699.173 平方公尺，一个坪等于 3.3058 平方公尺而在香港，也使用平方呎（即平方英尺）作为面积单位二、面积的历史沿革二、面积的历史沿革最原始的面积（areas）公理就是用长乘以宽来计算矩形面积，而其它多边形的面积，则是从矩形面积寻找出来的如古埃及人用来计算四边顺次为 a、b、c、d 的四边形的面积，可能他们22dbca把任意四边形看成四边不等的矩形了，从而想到用两组对边的平均值来代替矩形的长与宽他们还用推理来得到三角形面积为，即让边长为 a、b、c、d 的四边形的一边 d22bac为 0。
但这些都是近似的计算公式我国古代数学家（如刘徽）运用图形“割补”术计算出如三角形、梯形面积的准确计算公式而古希腊数学家在求面积上则运用“原子论”学说及“穷竭法” 在数学史上，曾有一些著名的面积计算，如1. 海伦海伦-秦九韶公式秦九韶公式海伦公式（约 1 世纪）用已知三角形三边而求其面积及与之等价的中国秦九韶的（13世纪） 海伦公式又译作海龙公式、希伦公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积但根据 Morris Kline 在 1908 年出版的著作考证，这个公式其实是阿基米得发现的，以托希伦二世的名发表海伦公式意指：边长分别为 a、b、c 的三角形，其面积 S 满足：.))()((csbsassS其中，为半周长：=ss2cba由于任何 n 边的多边形都可以分割成 n-2 个三角形，所以，海伦公式可以用来求多边形的面积比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测三个顶点之间的两点间的距离，就可以方便地导出答案6我国南宋时期的数学家秦九韶（约公元 1202-1261 年）独立发现了计算三角形面积的公式他在《数书九章》一书中写道：以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之.自乘于上,以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实:一为多隅,开平方得积。
这就是说：对于边长依次为 a、b、c 的三角形，小边平方加上大边平方的和，减去中边平方，将所得的差除于 2，然后将所得商平方，再用小边平方乘大边平方去减，所得差除于 4，开平方后就可得到三角形面积为4)2(2222 22bcaca秦九韶把这个公式称为三斜求积公式，实质上与海伦公式是4)2(2222 22bcaca一样的由于这两个公式形式不同而实质相同，而且两人又是独立发现的，所以人们称它们为“海伦海伦-秦九韶公式秦九韶公式” 此外，秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有使用价值2. 圆内接四边形的求积公式圆内接四边形的求积公式在古印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，598-665）的著作中，出现了有圆内接四边形的求积公式.))()()((dscsbsasA其中 a、b、c、d 为四边形的四条边，s 为四边形的半周长但是，当时的他并未注明圆内接四边形，也未给出证明实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点，12 世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑后来,马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为 0 的四边形，从而获得海伦公式。
3. 月形定理月形定理古希腊数学家希波克拉底（Hippo crates，公元前 460 年左右）将两个月牙形的面积之和转化成一个直角三角形的面积，称这为月形定理 4. 阿基米得穷竭法阿基米得用穷竭法求得了抛物弓形、螺线等曲边图形的面积阿基米得的求积术导致二千多年后积分术的发现 5. 割圆术我国刘徽（约 3 世纪）用割圆术求圆的面积方法，成为我国第一位应用极限方法解决数学问题的人 76. 印度圆印度人常用直观的方法去研究几何图形（12 世纪前）他们用“印度圆”的方法求圆面积： 取两个相等的圆，把它们等分成相同的分数的全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着） 、展平成锯齿条形，然后把它们互相嵌入（如图）即成一个近似的矩形份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径 r，底为圆周长 c，面积为rc，从而得圆面积为 2 2rrcs在中学数学教材中，至今还常用这模型作为讲圆面积计算公式的直观教具著名的德国天文学家、数学家开普勒（1571-1630）为了得圆面积公式而进一步把圆看作无数个顶点在圆心、底在圆周上的三角形之和他把圆看成了无数个“微小”三角形面积之和，这已经具有了积分学的萌芽。
7. 曲面面积曲面面积除了平面图形的面积外，阿基米得还证明了有关曲面面积的。