学习必备欢迎下载第一章 概率论的基本概念确定性现象： 在肯定条件下必定发生的现象随机现象： 在个别试验中其结果出现出不确定性， 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象随机试验：具有下述三个特点的试验：1. 可以在相同的条件下重复地进行2. 每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的全部可能结果3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会显现样本空间：将随机试验 E 的全部可能显现的结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S样本点：样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的；随机大事：一般，我们称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机大事，简称大事在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点显现时，称这一大事发生；基本领件：由一个样本点组成的单点集，称为基本领件；必定大事：样本空间 S 包含全部的样本点， 它是 S自身的子集，在每次试验中它总是发生的， 称为必定大事；不行能大事：空集 不包含任何样本点， 它也作为样本空间的子集， 在每次试验中， 称为不行能大事；大事间的关系与运算：设试验 E 的样本空间为 S，而 A,B,Ak （k=1,2, ⋯〕 是 S 的子集；1. 如 A B ，就称大事 B包含大事 A，这指的是大事 A 发生必定导致大事 B 发生；如 A B 且 B A , 即 A=B，就称大事 A 与大事 B 相等；2. 大事 A Bx ｜ xA或xB 称为大事 A 与大事 B 的和大事；当且仅当 A,B中至少有一个发生时，大事 AnB 发生；类似地，称U Ak 为大事 A1, A2, ⋯ , An 的和大事； 称UAk 为可列个大事A1, A2 , ⋯k 1 k 1的和大事；3. 大事 AB ={ x ｜ xA且 xB} 称为大事 A 与大事 B 的积大事；当且仅当 A,B同时发生时，大事 AB 发生； AB 记作 AB；n类似地，称 I Akk 1为 n 个大事A1, A2 ,⋯ , An 的积大事；称 I Akk 1为可列个大事A1, A2, ⋯的积大事；4. 大事 A B{ x ｜ xA且 xB} 称为大事 A与大事 B的差大事；当且仅当 A发生、B不发生时大事 A B 发生；5. 如 A B ，就称大事 A 与 B 是互不相容的，或互斥的；这指的是大事 A 与大事 B 不能同时发生；基本领件是两两互不相容的；6. 如 A BS且 A B, 就称大事 A与大事 B互为逆大事；又称大事 A 与大事B 互为对立大事；这指的是对每次试验而言，大事 A,B 中必有一个发生； A 的对立大事 A . A S A.设 A, B,C 为大事，就有交换律：A B B A; A B B A.结合律：A 〔BA 〔BC〕 〔 A B〕 C;C〕 〔 A B〕 C.安排律：A〔BC〕〔 AB〕〔 AC 〕;A〔BC〕〔 AB〕〔 AC 〕.德摩根律：A B A B; A B A B.频率与概率频率：在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，大事 A 发生的次数nA ，称为大事 A 发生的频数，比值频率的基本性质：nA /n 称为大事 A 发生的频率，并记成f n A1.0 ≦ fn A ≦12. f n S =13. 如 A1, A2, ⋯ , Ak 是两两互不相容的大事，就f n 〔A1 A2⋯ Ak ）=fn （A1 〕+ ⋯+fn （Ak ）概率：设 E 是随机试验， S是它的样本空间，对于 E的每一大事 A给予一个实数，记为P〔A〕 ，称为大事 A 的概率，假如集合函数 P〔〕 满意以下条件：1. 非负性2. 规范性：对于必定大事 S，有 P〔S〕=13. 可列可加性： P〔 A1 A2概率的性质：1.P〔 〕=0⋯） =P（A1 ）+P〔A2 〕+ ⋯2.〔 有限可加性）如A1 ，A2 ，⋯ , An 是两两互不相容的大事，就有P （ A1 A2 ⋯An ）=P〔A1 〕+P〔A2 〕+ ⋯+P〔 An 〕3. 设 A,B 是两个大事，如 A B ，就有P〔B-A〕=P〔B〕-P〔A〕,P〔B〕 ≥P〔A〕4. 对于任一大事 A， P〔A〕 ≤ 15. 对于任一大事 A，有 P〔 A〕 =1-P〔A〕6. 对于任意两大事 A,B 有 P〔 A B 〕=P〔A〕+P〔B〕-P〔AB〕一般地，对于任意 n 个大事 A1 , A2 , ⋯ , An ，可以用归纳法得出P〔 A1 A2 ⋯An ） =nP〔 Ai 〕 -i 11 i jP〔 Ai Aj 〕n+1 i jAi Aj Ak + ⋯k n+〔 1〕n1 P〔 AA2 ^An 〕1等可能概型（古典概型） 定义：具有以下两个特点的试验称为等可能概型：1. 试验的样本空间只包含有限个元素2. 试验中每个基本领件发生的可能性相同大事概率运算公式：12ej如大事 A 包含 k 个基本领件，即 A ei ei ^ iP〔A〕=knP〔ei j 〕 =k =（A包含的基本领件数） / （S 中基本领件的总数）j 1实际推断原理：人们在长期的实践中总结得到 “概率很小的大事在一次试验中实际上几乎是不发生的”条件概率大事 A 已发生的条件下大事 B 发生的概率设 A,B 是两个大事，且 P〔A〕>0，称 P〔B｜A〕=P〔AB〕/P〔A〕 为在大事 A 发生的条件下大事 B 发生的条件概率 .条件概率 P〔｜A〕的性质：1. 非负性:P〔B ｜A〕≥02. 规范性：对于必定大事 S，有 P〔S｜A〕=13. 可列可加性：设 B1, B2 , ⋯是两两互不相容的大事，就有P〔 UBi ｜ A〕P〔Bi｜ A〕i 1 i 1对于任意大事 B,C, 有P〔B∪ C｜ A〕=P〔B｜A〕+P〔C｜A〕-P〔BC｜A〕乘法定理：设 P〔A〕>0，就有 P〔AB〕=P〔B｜A〕P〔A〕一般，设A1, A2 , ⋯ , An 为 n 个大事， n≥2, 且P〔 A1 A2^ An1〕 >0, 就有P〔 A1A2^An 〕P〔 An ｜A1 A2^ An1〕 P〔 An1｜ A1 A2 ^ An2〕^P〔 A2 ｜A1 〕P〔 A1 〕划分：设 S 为试验 E 的样本空间，B1, B2, ^ Bn为 E的一组大事，如1. Bi B j, i j , i, j1,2, ^ , n2. B1 B2 ^ Bn S ,就称 B1, B2 , ^ Bn 为样本空间 S的一个划分全概率公式：设试验 E 的样本空间为 S， A 为 E 的大事，B1, B2, ^ Bn为 S 的一个划分，且P〔 Bi 〕0〔i1,2, ^ , n〕 ，就P〔 A〕P〔 A ｜ B1〕P〔 B1 〕P〔 A ｜ B2 〕P〔 B2 〕 ^P〔 A ｜ Bn 〕P〔 Bn 〕贝叶斯公式：设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E的大事，B1 , B2 , ^ Bn 为 S的一个划分，且 P〔A〕>0，P〔 Bi 〕0〔i1,2, ^ , n〕 , 就P〔 Bi ｜ A〕P〔 A ｜ Bi 〕 P〔Bi 〕 /nP〔 A ｜j 1Bj 〕P〔 Bj 〕先验概率：依据以往数据分析得到的概率后验概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率独立性：设 A,B 是两大事，假如满意等式 P〔AB〕=P〔A〕P〔B〕, 就称大事 A,B 相互独立，简称A,B 独立定理一：设 A,B 是两大事，且 P〔A〕>0，如 A,B 相互独立，就 P〔B｜A〕=P〔B〕, 反之亦然；定理二：如大事 A 与 B 相互独立，就以下各对大事也相互独立： A与B , A 与 B, A 与B设 A,B,C 是三个大事，假如满意等式：P〔 AB 〕P〔 AC 〕P〔 BC 〕P〔 ABC〕P〔 A〕P〔B〕P〔 A〕P〔C〕P〔 B〕 P〔C〕P〔 A〕 P〔B〕 P〔C〕就称大事 A,B,C 相互独立；一般，设 A1, A2, ⋯ , An 是 n〔n ≥2〕 个大事，假如对于其中任意 2 个，任意 3 个，⋯⋯，任意 n 个大事的积大事的概率， 都等于各大事概率之积， 就称大事互独立；A1, A2, ⋯ ,An 相推论：1. 如大事独立；A1, A2 , ⋯ , An 〔n ≥2〕 相互独立，就其中任意 k〔2 ≤k≤n〕 个大事也是相互2. 如 n 个大事A1, A2, ⋯ , An 〔n ≥2〕 相互独立， 就将A1, A2, ⋯ ,An 中任意多个大事换成它们的对立大事，所得的 n 各大事仍相互独立。