找规律、程序运算和定义新运算②三角形数：I6'10’15’21，…，驾思路导航找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论. 有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系.⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之 间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环 变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结 论.常见的数列规律：（1） 1，3，5，7，9，.，2n — 1 （ n 为正整数）.（2） 2，4，6，8，10,…，2n （n 为正整数）.⑶ 2，4，8，16，32,…，2n （ n 为正整数）.⑷ 2, 5, 10, 17, 26, ., n2 +1 ( n 为正整数).(5)0, 3, 8’ 15, 24,…，n2 — 1 ( n 为正整数).(6) 2, 6, 12, 20, ., n(n +1) ( n 为正整数).⑺—x , + x , — x , + x , — x , + x , ..., (—1)nx ( n为正整数).⑻）+ x， — x， + x， — x， + x， — x， ...， （—l）n+ix （ n ^为正整数）.⑼特殊数列：① 斐波那契数列：1，1，2, 3, 5, 8，13，.，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.13 5 7【例1】⑴ 观察下列一组数：-，-，它们是按一定规律排列的.那么这一组数2 4 6 8的第k个数 . （ k为正整数）⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9, 16, |5, 36，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门•请你按这种规律写出第八个数据 ⑶找规律，并按规律填上第五个数:-3，5，- 7 ,2， ，第n个数为： 2 4 8 16（n为正整数）1 |⑷有一列数-1，22 5那么第7个数是.第n个数为 （n为正整数）（5） —组按规律排列的式子：-一ab5a i是 ，第n个式子是 …（ab丰0），其中第7个式子 a 4（n为正整数）223022数表的规律【例2】⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼 茨三角形，若用有序数对（m, n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4,3）表示分数£ .那么 （9,2 ）表示的分数是 .(2)正整数按图的规律排列.请写出第20行第21列的数字: 第一列 第二列第三列 第四列 第五列第一行第二行第三行第四行第五行16 152510111324 23 22 *2021⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.① 当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 .② 如果设“X”型框中间的数为a,请用含a的代数式表示“X”型框中五个数的和；③ 若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于一285吗？若能，请求出这 五个数；若不能，请说明理由.0>7-91119-2123^27^-333539厶3^-4547-4951-5355\e-6163-6567*/图形的规律【例3】⑴下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第n （ n是正整数）个图案由 个基础图形组成.⑵观察下列图形:* L* *★* *★ *★ * *★ * ** * ★* * *个★，第n个图形它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有有 个★.⑶ 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2,再分别连接图2中间小三 角形三边的中点，得到图3.① 图2有 个三角形；图3有 个三角形；② 按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形?⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ，第2个图形第3个图形 第4个图形算式的规律2 6 12 20【例4】观察下列等式：①a + = 3 :②a + = 5 :③a + = 7 :④a + = 9…；则根据a a a a此规律第6个等式为 ，第n个等式为 思路导航一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系.程序运算【例5】⑴如下图，输入x = -32，则输出值y是 ⑵如下图所示是计算机程序计算，若开始输入x = -1,则最后输出的结果 是 .⑶ 如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24, 第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为 ..⑷按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为853,试求出 满足条件的x的所有值.【例6】阅读下面的框图并回答下列问题：(1) 若 A 为 785，则 E= ；(2) 按框图流程，取不同的三位数A,所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不 同，请求出E的所有可能的值；(3) 将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数 字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明.思路导航定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后 按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.【例7】 ⑴现定义两种新运算A、V，对于任意两个整数a、b，都有：a Ab = a + b -1, aVb = ab — 1 .试求：(3A4)A(2V 1)的值.⑵用“Q ”定义新运算：对于任意a，b，都有a Q b = a 2 — b. 例如，4 Q 7 = 42 — 7 = 9，那么 5 Q 3= ；当m为有理数时，m Q ( —1 Q 2) = .a b⑶对于正整数a， b， c， d，规定 =ad — bc， c d⑷定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数.如：2的差倒数是1 - a • • •-1的差倒数是出r1 •已知ai 一 r【例8】① a是a的差倒数，则a = ；2 1 2② a是a的差倒数，则a = ；3 2 3③ a是a的差倒数，则a = ，…,依此类推，则a = 4 3 4 2009【选讲题】（1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D .请你按图中箭头所指方向（即A T B T C T D T C T B T A T BT C T…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n +1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）.（2）数a1，a2, & a4'…满足下列条件：a广°，=Ta]+1则a2013的值为 下去：⑴剪的次数12345正方形个数47填表:思维拓展训练(选讲)训练1・ 下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16,，第2002个数应该是( )A. 22002B. 22002 — 1 C. 22001D.以上答案均不对(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形 再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行如果剪了100次，共剪出多少个小正方形? 如果剪n次，共剪出多少个小正方形？训练2・ 根据右图所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x的值为3，则输出的结果是 .2训练3・ 读一读：式子“1 + 2 + 3 + 4 + 5 + •••+100”表示1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1 + 2 + 3 + 4 + 5 + •••+100 ”表示为艺n，这里“工”是求和符号.n=1例如：1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ 99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为艺(2n — 1)；n=1乂如 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 +103 可表示为邑 n3 .n=1通过对以上材料的阅读，请解答下列问题.⑴2 + 4 + 6 + 8 +10 + •••+100 （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可 表示为 .⑵ 计算£（n2 -1）= .（填写最后的计算结果）n=1训练4.在某种特制的计算器有一个按键★★★,它代表运算b+b+b -b2例如：上述操作即是求1+3+1-（-2'的值,运算结果为2．回答下面的问题：小明的输入顺序为-5 , ★★★, 7, ENTER=，运算结果是 小杰的输入顺序为也？，★★★,101★★,6665,ENTER=,”*,ENTER=,”* —65竺,ENTER=，运算结果是100101，ENTER="2010201120092010,2009 ,迎这些数 2010 2011中，任意选取两个作为a、b的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是若在-输入顺序],★★★, -2, ENTER=屏幕显示1*** (_2)2数列的规律【练习1】⑴观察一列有规律的数：4 , 8 ,16 , 32，…，它的第2007个数是（A. 22007 B . 22007 — 1C. 22008 D. 22006⑵ 观察下列单项式，2x , —5x2, 10x3 , —17x4 , 根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n个式子是 .（ n为正整数）数表的规律【练习2】下面是由自然数排成的数表，分为A, B, C三列，按这个规律，1999在第列。
ABC12365478912111013…图形的规律【练习3。