渐开线方程的推导

渐开线方程推导 性质 1：渐开线的形状仅取决于基圆； Propertyof the involute： 推论 1：齿轮的渐开线形状仅取决于 m、z、a，即模数、齿数、压力角； 性质 2：基圆内无渐开线；   性质 3：发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的长度，即 KNAN ； 性质 4：渐开线上任一点的法线恒与基圆相切； Illumination： 图 1 渐开线方程推导 青色带箭头的线――构成正交直角坐标系，O 点为坐标原点； 图中， 绿色的圆――基圆、即渐开线发生圆，KN 为渐开线发生线，基圆半径为 rb；  蓝色曲线 AKB ――渐开线，A 为始端，B 为终端，K 为渐开线上任一动点；  蓝色直线 OK――连接基圆圆心 O 与动点 K 的矢径，OK ；   蓝色直线 KV――动点 K 的速度矢量 KV ，垂直于矢径 OK ； 绿色直线 KN――动点 K 的法线，根据渐开线的性质 4，设法线与基圆相切于 N，连接 NO； 法线方向即为两齿轮啮合传动时、力矢的方向 KF； 紫色直线 NQ――切点 N 向 X 轴作垂线，垂足为 Q； 紫色直线 KP――动点 K 向直线 NQ 作垂线，垂足为 P； Definition： KOA 称为展角，记为 ； NOA 称为滚动角，记为  ； 速度矢 KV 与力矢 KF 的夹角称为压力角，记为  ， 即图 1 中 VKN ； Because VKNOKN90And NOKOKN90That is NOKVKN k滚动角＝展角+压力角； Evolution in polar coordinates： 在极坐标系中，渐开线方程可写为：  r kOK br / cos() k k k  AN rb  KN  krb  ktan()  k即， r k br / cos()  an()  kEvolution in Cartesian coordinates： 在直角坐标系中，渐开线方程可写为（关键是两条紫色的辅助线，注意： KNP90ONQ k ）：   x kOQPK    y kNQNP    ON *cos() NK *sin()  ON *cos() AN *sin()  br *cos() br * * sin() 即， x k br *cos() r ** sin()  ON *sin() NK *cos() ON *sin() AN *cos()  br *sin() br * * cos() y k br *sin() r ** cos()   Supplement： 由以上推导可得出展角、滚动角、压力角三者之间的关系：  an()  k an()    ktan()   k即， 展角 滚动角 滚动角 ； ； ＝ 压力角的正切－压力角； ＝ 压力角的正切； ＝ 压力角+展角； 压力角的正切 ＝ 压力角+展角； 注 1：本文角度单位为弧度制； 注 2：图 1 中的角 a，b，c 分别对应正文中的 , ,  ， 即压力角，展角，滚动角。