微积分微微 积积 分分 微积分第二章第二章 极限与连续极限与连续•数列极限数列极限•函数极限函数极限•变量极限变量极限•无穷大与无穷小无穷大与无穷小•极限的运算法则极限的运算法则•两个重要的极限两个重要的极限•函数的连续性函数的连续性 微积分2.4 2.4 无穷大无穷大量与无穷小与无穷小量一一. . 无穷小无穷小量定义定义1 1：：以以0 0为极限的变量为极限的变量, ,称为称为无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）定义定义2 2：： >0,>0, 某个时刻，在此时刻以后，某个时刻，在此时刻以后，|y|< |y|< ,恒成立恒成立.则称则称y y在此变化过程为在此变化过程为无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小） 微积分无穷小无穷小量注意注意（（1 1）无穷小是变量）无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;（（2 2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数. .对于对于x x→x0：： >0,>0，使得当，使得当0<|x-x0|< 时时, |f(x)|< ,恒成恒成立立.对于对于x→∞：： >0, M>0，使得当，使得当|x|>M时时, |f(x)|< ,恒成立恒成立. 微积分无穷小无穷小量例如：例如： 微积分2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性 微积分意义意义 （（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证 微积分注意注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . 微积分定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证 微积分推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小 微积分二二. . 无穷大无穷大量二二. . 无穷大无穷大量定义定义1：：绝对值无限增大的变量称为无穷大量绝对值无限增大的变量称为无穷大量. .定义定义2 2：： E>0,E>0, 某个时刻，在此时刻以后，某个时刻，在此时刻以后，|y|>E|y|>E,恒成立恒成立.则称则称y y在此变化过程为无穷大量（无穷大）。
在此变化过程为无穷大量（无穷大） 记为：记为：limlimy y= =∞同理可定义：同理可定义：正无穷大正无穷大 limy=+∞负无穷大负无穷大 limy=-∞ 微积分无穷大无穷大量对于对于x x→x0：： E>0,>0，使得当，使得当0<|x-x0|< 时时, |f(x)|>E,恒成恒成立立.对于对于x→∞：： E>0, M>0，使得当，使得当|x|>M时时, |f(x)|>E,恒成立恒成立. 微积分特殊情形：正无穷大，负无穷大．特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意注意（（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. 微积分不是无穷大．不是无穷大．无界，无界， 微积分证证 微积分三、无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证 微积分意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论. 微积分四四. . 无穷小无穷小量的阶四四. . 无穷小无穷小量的阶例如例如,观观察察各各极极限限不可比不可比.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同. 微积分定义：定义： , 是相同一过程的两个无穷小量是相同一过程的两个无穷小量. .如果如果 : : 微积分 微积分例例1 1解解例例2 2解解 微积分常用等价无穷小常用等价无穷小: :注注1.上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握 微积分用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:一般地有一般地有即即α与与β等价等价 α与与β互为主要部分互为主要部分例如例如, 微积分等价无穷小替换等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )证证意义意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。
具体代换时，可只代的无穷小代替，以简化计算具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换 微积分例例3 3解解注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .等价关系具有：自反性，对称性，传递性等价关系具有：自反性，对称性，传递性 微积分例例4 4解解错错解解 微积分例例5 5解解 微积分例例6 求求解一解一解二解二 微积分解三解三例例7 求求解解 微积分关于关于1 1∞∞型极限的求法型极限的求法 微积分 微积分五. 小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（（1）） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（（2 2））无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（（3）） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. 微积分思考题思考题 微积分思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有 微积分一、填空题一、填空题: :练练 习习 题题 微积分 微积分练习题答案练习题答案 微积分1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的无穷小的阶阶.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件. 微积分思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能．不能．例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时 。