极化码的原理及分析孙超;林宝军【摘 要】极化码是基于信道极化现象而设计的新型编码,是目前理论上唯一能达到 香农限的线性纠错信道编码,其编译码复杂度低,性能优越.极化码基于信道分裂与组 合,其中一部分信道容量趋于无噪,另一部分信道趋于全噪,将无噪信道传输信息比特, 全噪信道传输固定比特.极化码随着 5G 的到来,也逐渐受到重视.被选定为三大应用 场景中eMBB场景下的控制信道编码•极化码在长度较短时性能输于LDPC码然而 在eMBB场景下长码方案中依然以三票差距输给LDPC码，因此需要我们继续对此 进行探究•本文在阐述极化码的原理基础上，基于matlab软件,信道极化现象与信道 索引的关系对主要研究极化码的原理包括极化码的基础,极化码的编码,极化码信道 极化,根据原理对传统的连续删除SC译码进行了仿真实现，并将在LDPC码中常用 的置信传播BP译码和最小和BP译码方式引入，在基于matlab软件下进行了仿真 对比，并对全文进行了总结.期刊名称】《广东通信技术》年(卷),期】2019(039)003【总页数】6页(P26-31)【关键词】极化码;信道极化;极化码编码；SC译码;matlab【作 者】 孙超;林宝军【作者单位】 中国科学院上海微系统与信息技术研究所;中国科学院上海微系统与信息技术研究所【正文语种】中文1引言 信道编码技术是无线通信物理层的最核心的基础技术之一，它的主要目的是使数字 信号进行可靠的传递。
信道编码技术通过在发送信息序列上增加额外的校验比特， 并在接收端采用译码技术对传输过程中产生的差错进行纠正，从而实现发送信息序 列的正确接收为了实现可靠的信号传输，编码学家在过去的半个多世纪提出多种 纠错码技术如RS码、卷积码，Turbo码等，并在各种通信系统中取得了广泛的应 用［1］我们知道LDPC是码长足够长时，是逼近香农极限的香农极限即香农第 二定理通俗来说就是，在码长R不大于信道容量C的情况下，存在一种能够实现 信息的绝对可靠传输的编码方案而所谓香农限就是同时满足绝对可靠、R逼近C 的理想情况香农第二定理并没有告诉我们如何进行信道编码，但是它指导着我们 去寻找更加符合这种理想状态的编码方案，从turbo码到LDPC码，越来越逼近 这一理想，而极化码的出现，在理论上实现了这一理想2008 年在国际信息论 ISIT会议上，Arikan首次提出了信道极化的概念［2］这种理想的编码方案使我们 能够在一个噪声信道中以理论上最小的差错率和最快的速度进行信息传输极化码 的编码长度设计都是2的N次方，而目前航天器与地面计算机系统都是32位的 比特计算与存储，所以极化码的特性也适合应用于未来的卫星领域。
Polar码具有 明确而简单的编码及译码算法该编码因为拥有结构简单，译码复杂度低，而被国 际移动通信标准化组织3GPP确定为5G eMBB（增强移动宽带）场景的信道编码技 术方案，其中，Polar码作为控制信道的编码方案本文将对极化码的原理进行阐 述，研究其在二进制信道下码长，信道索引和信道极化现象的关系，并对连续删除 SC译码基于matlab下进行了仿真实现，同时引入LDPC码中BP译码和最小和 BP译码，将这三种译码方式进行了仿真对比2 信道极化2.1 信道的参数与符号极化码是基于二进制GF(2 )构造的，其中Px表示X的概率分布，Px,y表示联 合概率分布表示行向量；表示由N个合成信道；表示将分解成N个子信道第i 个子信道；信道转移概率W(y|x)[3-4]定义在二进制DMC下信道容量和巴氏参 数分别为I(W )和Z(W):I(W)表示无错误传输的最大信息速率，Z(W)表示信道的可靠性2.2 信道的组合信道组合就是将二进制DMC信道递归操作组合起来形成WN,其中N=2n，n>=0 当n=0时，信道复制一次，有W1=W当n = 1时，信道进行组合得到信道W2， 如图1所示：图1 W2的信道组合当n=2时，信道进行组合得到W4,如图2所示：图2 W4的信道组合当n=3时，信道进行组合得到W8，如图3所示：图3 W8的信道组合示意图以此类推可以得到n = n-1时，组合信道WN,如图4所示：图4 WN的信道组合示意图对输入序列u进行线性变换后可得到编码序列x，其变换过程可用生成矩阵GN来 表示此时其信道的转移概率为：2.3 信道分裂信道分裂是信道组合的逆过程，将合成信道WN再分解成N个二进制输入信道， 其对应的转换概率为：2.4 信道极化 信道极化是信道合并与信道分裂两种信道操作的结果［4］。
在上述两种操作下，原 本相同的N个W信道产生了极化现象，其中一部分信道容量趋于1,另一部分信 道容量趋于 0 当信道 W 为二进制删除信道时,信道容量可以通过递推公式（6）算出,信道极 化现象如图5 所示从图可以看出当删除概率为0.5时，随着编码长度N的增加，信道极化形象越加 明显,图中所有点呈中心对称,当信道索引号很小时,对称信道容量趋近 0；当信 道索引号很大时,对称信道容量趋近于1由柱状统计图（6）中可以看出,当 N 比较小时,趋于0 或1 的个数占总个数比 例不高,当 N=32768 时,信道容量 0 和 1 的数目比例都分别占到了大约49% 这就是信道极化现象3 极化码的原理3.1 极化码编码首先声明定义Kronecker（克罗内克积）：F 定义为矩阵,则可以得到生成矩阵 GN ：其中其生成的编码序列：图5 N=64, 1024,32768时的信道容量将式（8）带入，可得：是矩阵GN的一个子集，是集合A的补集如果确定集合A和子矢量，就能得到 信息序列的编码我们把编码参数表示为K是信息比特长度；N是编码长度； K/N是码率；为固定比特3.2 SC译码令polar码的编码参数为，SC译码步骤如下[5]:图6 信道极化现象的柱状统计图设定第i个信息比特ui对应分裂信道为，通过该信道发出的信息，在接收端宜采用软判决译码，计算对数似然比:其中,是对估计值，根据推导，（11）由下面两个递归公式得到运算符定义为。
递归终止条件为N = 1时，即到达了信道W端，此时，似然比可 以根据W信道的转移概率和接收符号值算出消息估计值，在使用时先需要对式 （11）做出判断，当为消息比特时，判断条件为:从上面推导过程中可以看出似然值的复杂度为N （ 1+logN ）3.3 BP 译码极化码生成矩阵可以用因子图来表示，这样就可以使用BP译码算法对其进行译 码【6,7,8】BP译码就是通过节点之间相互传递信息，每个节点的更新公式如下: 其中g(x,y) = ln((1+xy)/(x+y))，从信源端发出的信息,与信息集和固定比特值选取 有关：最后一层信道端的信息，接收到的信息设置为：达到最大迭代值时，停止迭代，并做出判决：由以上译码过程可以看出，极化码的BP译码算法作为一种并行的译码算法具有不 错的译码性能3.4最小和BP译码虽然BP译码具有不错的性能，但在LDPC码中我们可知其复杂度还是相对较高， 因此，我们引入BP译码的改进方式，最小和BP译码其译码时的节点更新公式 依旧如式(15 )—样只是令其中 g(x,y)二sign(x)sign(y)min(|x|,|y|),当 y 时， sign(y)=O,否则sign(y) = 1。
其译码算法迭代过程如下：输入：接收矢量 y;进行初始化;当码字的第 j 个分量为信息比特，则，否则 迭代更新：对式15进行迭代更新每个节点先从右向左进行更新，到达最左侧后再 从左向右进行更新，到达迭代最大值时停止更新最小和BP译码与BP译码方式最大的区别，在于判决处，BP的判决条件是否则4 仿真结果分析图7 不同码长下极化码的性能在AWNG信道下，选取码率为0.25，采用SC译码方式，分别选取不同码长的极 化码，在matlab下对其进行仿真，得到图4.7.其中黑色的为码长256，绿色为码 长512 ，红色为码长1024 ，蓝色为码长2048.从图中可以看出，码长越长性能越 好随着SNR的逐渐增加，越加明显这是因为码长越长，有前面信道极化仿真 可知，信道极化越加明显，无躁信道的个数和比例都会显著提高，所以性能就越加 好在AWNG信道下，选取码长为512，采用SC译码方式，分别选取不同码率的极 化码，在matlab下对其进行仿真，得到图4.8.其中绿色为码率0.25，黑色为码率 为 0.5，红色为码率0.75从图中可以看出，码率越小，极化码的性能就越好，说 明编码效率直接影响码字的好坏因为码率越低，信道编码对信道信息增加的冗余 就越多，使得信息受到的保护就越多，因而性能就越好。
所以编码速率不同时，发 送的信息越多性能越差，因为信道极化，其中一部分信道是完美的无噪信道，当发 送的信息多于好的信道个数时，就会导致其余部分信息在完全噪声信道下发送，最 终出现这种情况所以，信息位的选择很大程度上也与编码速率有关，码率越高， 有效性越高，但可靠性就低；码率越低，有效性就低，但信息传输可靠性就高 图8不同码率下极化码的性能图 9 不同码长下极化码的性能在AWNG信道下，对极化码采取不同译码方式，将LDPC码中的BP译码和最小 和译码方式引入，分别对其仿真，得到如图4.9所示在SNR约小于3.5时，SC 译码性能好于两种BP译码方式当SNR大于3.5时，两种BP译码性能优于SC 译码而BP译码性能始终优于最小和BP译码方式因为SC译码是一种串行译 码，而BP译码方式是一种并行译码方式，在码长较大时，BP性能会优越一些但BP译码一般在硬件上实现比较复杂，所以一般都用最小和BP译码来近似，虽 然降低了 BP复杂度，但译码性能却打了折扣5 总结从代数编码和概率编码的角度来说，极化码具备了两者各自的特点首先，只要给 定编码长度，极化码的编译码结构就唯一确定了，而且可以通过生成矩阵的形式完 成编码过程，这一点和代数编码的常见思维是一致的。
其次，极化码在设计时并没 有考虑最小距离特性，而是利用了信道联合(Channel Combination )与信道分 裂(Channel Splitting )的过程来选择具体的编码方案，而且在译码时也是采用 概率算法，这一点比较符合概率编码的思想SC译码算法以LLR为判决准则，对每一个比特进行硬判决，按比特序号从小到大 的顺序依次判决译码当码长趋近于无穷时，由于各个分裂信道接近完全极化(其 信道容量或者为0或者为1)，个消息比特都会获得正确的译码结果，可以在理 论上使得极化码达到信道的对称容量，而且SC译码器的复杂度仅为O(NlogN)和码 长呈近似线性的关系然而，在有限码长下，由于信道极化并不完全，依然会存在 —些消息比特无法被正确译码当前面i-1个消息比特的译码中发生错误之后，由 于SC译码器在对后面的消息比特译码时需要用到之前的消息比特的估计值，这就 会导致较为严重的错误传递因此，对于有限码长的极化码，采用SC译码器往往 不能达到理想的性能为进一步提高有限码长极化码的性能，相继也提出了很多其它译码算法，SCL译 码，CRC辅助SCL译码通过多保留候选路径筛选来保证译码的正确性，但相对 SC译码，其复杂度会提高很多，消耗更多存储空间。
基于并行译码的置信传播 (BP )译码，在低时延条件下可以获得比SC更好的性能极化码想要得到更多应用还要克服高速率通信下的时延和吞吐率问题，这是polar codes应用上最大的问题参考文献相关文献】1 孙利华,陈荣伶.信息论与纠错码.2版.北京：电子工业出版社20092 E.Arikan.Channel polarization:A method for const。