第,卷第二期一九八六年十二月长沙水电师院学报??????? ? ? 丫 ? ? !???一?????谐波分析及其在天气预报中的应用段德寅?湖南省气象科学研究所?提要谐波分析是一种较好的正交分解方法,历来多用于空间场 的分解和气侯分析方面,本文首先扼要叙述谐波分析的基本原理,然后提 出运用距平符号周期性的变化规律来制作长期天气预报的方法,并对长沙市历年?一?月总降水量的时间序列进行分析 与预报的试验,探讨了具体运用于天气预报时应注意的一些问题关键 词?谐 波分 析,周期变化,长期天气预报,时间序列,距一书谐波分析的原理在物理学中,简谐波可用三角函数表示为夕???宜??·才???其中?是 位移,月是振幅,? ,是圆频率,?是初位相,设周期为?,则? ,二?二万‘口?户一 以’一?甘“、飞川’一??刀“’一尹一?犷‘户, ’ ‘ ’?尹,产?沙??一’乃切一?????气象要素由于受到太 阳辐射、大气环流等因素的影响,来像是一种波动对气 象要素,的时间序列幼? ?“?,?,…,简谐波的迭加,记为刀,??习?‘????口‘?其数值是随时间而变化的,看起? ?,我们可以把它看 成为许多???它的一般项 为?‘? ????才十夕‘?,称为第?个谐波。
由于????‘?二?? ?口?????口‘???? ‘?? ????若令?‘二?????口‘,?‘?? ?‘???口故有东?·卜“‘,“‘二? ?一’名?刀,??见???? ??‘???‘?????但 是,任一气象要素的时间序列都是有限的,因 此分解出来的波数也是有限的,将夕?,??,…,协这月个资料表示成有限 个简谐波的迭加形式,称做谐波分析通常这些谐 波是相互正交的,第一个谐波称为基波,它 的周期等于时间序列的长度?,称为基本周期,其它谐 波的周期分别是基本?勺期的???,???,…,最短的周期为序列时间点之间时 间间隔的?倍,这 一系列谐波? 迭加 在一起就 得到对原序列的 估计序列取?个谐 波迭加作为 时间估计,有刀,?“习????????一卜????????????本文于? ? !年?月一?日收 列第?期段德寅谐波分析及其在天气预报中的应用???式即为谐波分析的数学模型,小二乘原则,即要求估计误差??,?‘,?,为谐波 系数估计这些系数时,采用最?? ??二,,一功的平方和习?“? ???习?夕,一夕,?“达最小口一盆对于连续时间函数夕,,所有时刻的误差平方和就是???? ?在?到?区间上的积分,即「????,???? ?。
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‘““d‘‘一争儿,(‘,“‘n口客‘d‘对于离散样本时间序列夕, ( t=1, 2,…, n ),则写成求和形式口自·音一, %,功c o、介一泛一愈功 c O a粤·‘(, . ’‘二瓷,兀二考口.=一一_2汀‘)异息·,”弩·为使求和也从零开始,改为·一食一息功一万‘序列的平均澎·‘=令息一!架·“一‘,」“‘二号一 愈·‘n!镖“一‘, }(7)了. .!\可以证明,第i个谐波对原序列的方差贡献为S于, *,.,‘I .一加、户于气0“少它了街七灯沙夕U阴刀足 之少 O-(8)一一1,_二:,、1石,_.下、,石户、, h a *淑二,墉;J毛甲口 丁二r又以丁十U石少,一=一 万三山、UJ一J7一=乙j口‘0、 O,丁、口U范水夕气声 已二刃屯/ J、J月切‘Z了不‘,1,一 1习叼:个谐波对原序列 的拟合程度,由于谐波的正交性,所以可用~笼升来表示I个谐波的迭加对原序列的拟合程度,也称为方差分析为了检验各个 谐波 的显著性,采用统计量厂二-一_(“2-_ 妙兰些竺__ 舒一舒)/ n一2一‘它遵 从分 子自由度 为2,分 母自由度 为n一2一1的F分布(假设变量遵从正态分布)。
当第i个 i 皆波计算出来的j ;’‘ >Fa是信度),则该谐波所对应的周期就是序列的主要 周期第2期段德寅谐波分析及其在天气顶报中的应用2.谐波分析在预报中的应用谐波分析对 时 间序列是 一种较好的正交分解方法,能 分 解出各种规 则 性 的 周期波,确定振幅和初位相,找出主要 周期,通过 几个主要周期的迭加可以看出对原时间序 列的拟 合程度,因而常用于空 间场的分 解和气候的分析方面,例如 分析高空高 度 场 的 波动,比较大气环流的特征差异等至于把谐波分析运用于天气预报的实践,主要而临两个难题:第一,一般只分析几个显著的主要 周期,以它们的迭加来拟合原时间序对,总是存在不小的误差然而,即使用所有谐 波去拟合原时间序列,其意义也是 不 犬的,因为 所有的谐波都是以原时间序列长度为周期的波,故而无沦用何种波,预报第( n+1 )年其乡毕 果将与第1年相 同(假设原时间序列 的 长度为n ),预报第(2 )年其结果将与第2年相 同,如此而已,毫无预报意义第二,通过‘皆 波乡于析‘于解出来 的波都是规贝“‘胜波,其周 期另」为梦n一,2n 丁””2实际上,时 间序列存在的主要波动的周期却可能不在这些数值之中,尤其 是在低频波动中,遗漏的现象很容 易发 生。
同时要看到,在规则波的周期之中,有许多数值不是整数而是带着小数位的,例如3.8年周期, 2. 5年周期之类,我们决不能采取四舍五入或其它办法,使其变为整数,因 为那样是没有意义的因而,面对带小数位的 周期,对于外推预报就行不通了通常采取周期图的办法,转化为求取整数周期,然后迭加、外推和 顶报从上所述可知,迄今为止谐波分析很难单独作为一种预报方法加以使用由于长期预报的时效较长,所以倘能报出 具体数值当然 更好,事实上其精确度往往不能令人满意,一般能报出一民期趋势也可以满足一 些实际需要通过分析试验,我们认为谐波分析可以制作趋势预报,能报出气象要素未来的正(负)距 平即我 们在对原时间序列进行谐波分析以后,寻找出主要 周期的谐波,把其序列变为距平序列,与原始资料的距平序列进行对比,得到拟合率,如果拟合度较好,就按该谐波 距平序列进行外推预报事实上,由于是用距平符一号的周期变化取代了原来具体数值的周期变化,所以周期外推就不是单纯 是第(,+1 )年与第1年相同,第( n十2 )年与第2年相同… …,而是呈现 多种周期变化状态,这从分析出的各谐波序列的距平情况可以得知,因 此,这种外推预报是 可行的。
以一长沙 市1951一1980年4一6月总降水量距平序列为例,说明距平符号 周期外推方法的具体操作过 程1)列 出历年 资料 及距平 序 列夕, (表1)表1(单位:毫米)62722631 64!65512.5日1.1w e w eJl w e叫.|l|6,一6‘4 3 51761, 翻, 奋舟OJ,O印‘ 甘.二厅.-扣nl匕.舟」内O口U l勺比O八U冉D,二内匕口亡.厅拍‘01勺告O户卜侧:0..吕6内ot吸了U丹O内b4叮」n幻. n曰八U l匕O , 臼内七q山丹才农U.8八」5 56 11 7一7 0弃n-内匕一沙月, J扭乃乙 O口bJ认Ona6O 心年总豁鬓,四舍五入距平 序列y l年 一4一6月总降水量一四舍五入.距平序列夕‘1618852一53521.1 603..6 …4 9 83475l一矛一5 2 1一1 0 06 76 0 4一 1 768498一1 23744 7 5一1 4 675了 2 2 }魂 3 5,’…一’8‘7 7{785 13一1 0吕吕0吕n J 6 116 6.8,吕2n‘品O曰百几O冲4 04640199068562408·6一8 28· 7-496。
5492,1 2 9:;;j: ;60 1一2 040 9{829一2 1 21Z o a7 3 8-7 387 5今了753文32552一 6牙5 0 9一1 1 24 9 7一1 2 4.nn材nh Q仙内匕一七n J六七长沙水电师院学报1986年12月1951一1980年平均值为6 21.4毫米,四舍五入为6 21毫米,距平值即据此求得n=30,故基波的周期为3 0年,其余谐波的周期分别为1 5年, 1 0年, 7. 5年,6年,5年, 4. 3年, 3.8年,33年,3年,2. 7年, 2. 5年, 2. 3年,2. 1年和2年,一共有1 5个谐波为了求取谐波系数,h a、有关的三角函数值原先出现有c o等(卜, )〕及s i n粤·(卜1)l,现在为计算方便,将2汀弧度改为360 0,1,…,29(表2)2)求谐波系数¹求a 0因为研究对象采用 的是距平序列,,,故而有n=30,f=1,2,…,15 t一l= =0,习夕,=0-口一 1习y,=0刀 一】息0 01丫·(卜1)}1一n一一a即º求取a,与气有公式q山n一一一a“‘=令.冬 sin「 h a.(,一1) l LnJ( i=1,2,…,15)实际计算时,采用的是‘一鑫兰。
eQ U.一 1!. (,一1){飞 ..‘J、Z1土 一子奋吸了、“‘一命:蓉3四.2 3O当i=1,Q一=鑫艺“:c吕心U宜一1!谓· 1·“一‘,j=典〔(一3)c +(一:0 0 )石U一 eo吕1 2 +(一1 7)e吕2 4“ +325eos36“ +(一3)e o s48 +87eos60 ++29eos72 +47eos84” +(一1 2 3)eo s9 6“ +(一146)e o吕10 8“ +(一5 5)-.e o吕1 2 0“ +101eos132 +(一1 8 6)eo s1 4 4“ +141eos156 +(一1 08 )eo吕1 6 839eos180 +19eosl92“ +(一工 2 9)eo s2 0 4 +286eos216 +(一58 )-.e o 32 28“ +(一20 )eo s2 4 0“ +(一2 1 2)eo s2 5 2” +208eo吕2 6 4“ +].17e o a2760 +7. eo吕2 88 +(一6 1)eo吕3 0 0“ +132eos312 +(一69)eos3 2 4“ +(一1 1 2)e o吕3 3 6二_二‘_ __。