为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划与矩阵A合同的矩阵是 矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系 关键词：矩阵秩合同对角化 定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为A? B B 定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得B?P?1Ap，则称A和B相似A? 使得PTAP?B 那么就说，在数域F上B与A合同 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即P?Q1Q2?Qm TT 此时P7?QmTQn?Q1边为一系列初等矩阵的乘积?1 TTT若B?PTAP?QmQn?1?Q1AQ1?Qm则B由A经过一系列初等变换得到所以 定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P， A?B，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共A?BB?P?1AP del|?I?B|?det|?I?PAP| ?1 又因为?I为对称矩阵 所以det|?I?P?1AP|?|P?1|?I?A|P| ?|P?1|?|I?A||P|?|?I?A| 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同论：设A，B为特征根均为?1,?2??n，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正矩阵，Q,P使得 QAQ?[?1??2]PBP?[?1??n] ?1?1 从而有Q?1AQ?P?1BP PQAQP 1?1 ?B 由Q?1Q?EPP?1?E 从而有PQ?1QP?1?PEP?1?PP?1?E从而(PQ?1)?1?QP?1 又由于(QP?1)(QP?1)T?QP?1(P?1)TQT ?1 ?1TT ?QP(P)TQT ? ??E ?1 ?QP 为正交矩阵 所以A?B且A?B 定时5：两合同矩阵，若即PTAP?B，若A为对称矩阵，则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明：A?B即PTAP?B，若对称阵，则AT?A B?(PAP)?PAP T T TTT ?PTAP?B 所以B边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么(来自:写论文网:与矩阵A合同的矩阵是)情况下成立呢？ 引理6：对称矩阵相似于对角阵?A的每一个特征根?有秩|?I?A|?n?s，S为?的重数. 证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根?，以其重数以秩|?I?A|?r，则 ?x1??0?????x20????，线性无关的解向量个数为n?r个，即5个?r?n?s?n?r?s?|?I?A| ???????????xn??0? 又因属不同特征根的特征向量线性无关 ?n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量?n阶对称阵可对角化 从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用 例求一非线性替换，把二次型 f(x1,x2,x3)?2x1x2?6x2x3?2x1x3 二次型f(x`,x2,x3)矩阵为 ?011???A?10?3 ????1?30?? 对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换 ?2?A?1 ????2?1?E?1 ???0?x1??1???x?1?2????0?x3??? ?2??2 ?? 0?3?0 ?? ??30???00101 10?201? ??1?1?? 0? ?0?6?? 0??1 ??0?1?? ?1???1 1?10 3?? ?1?1 ?01???y1? ??y?2???y3?? 可把二次型化为标准型 f(x1,x2,x3)?2y1?2y2?6y3 2 2 2 解法 1?2??2 ??A?10?3 ?????2?30???2??1???0 10?2 0? ??2??2?? 0??20 ?? 1 ??0??2? 2???0?2?2????2???0??0? 0?120 0??0??6?? 此时f(x1,x2,x3)?2z12?此时非线性退化替换为 12 z2?6z3 22 1??1?3??2x?1????z1? 1????? x2?1?1?z2??????2???z??x3???001?3? ?????? 发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性 [注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？例3．用可逆性变换化二次型 222 f(x1,x2,x3)?(?2x1?x2?x3)?(x1?2x2?x3)?(x1?x2?2x3)22 解：f:6x12?6x1x2?6x1x3?6x2?6x2x3?6x3 对二次型矩阵为 ?6 ??3A?? ??3?? ?36?3 ?3???3?6??? ?6??3???3A??E?1 ?0???0 ?36?3010 ?6 ? ?3??0 ???3???6?0???0? ???10??1???0 ??0 092? ??6??9 ?0??2?? ?09???2??? 1?1???2??00????1??0 009XX120 ?1? ??0??0 ?0? ? 0?? ??1? ?0? ?1??? ?0?1???0? ? 10 ? 00? ? 1??E???????B? 1???1??? ?x1????2 标准形f?y12? y2，则?x2???0 ???x3?? ?0?? PTA?B 111 ????????? ?y1???y?2???y3?? [注]当P改变两行的位置交换后，发现 ? ?0??1?? 1 ?0???0??1??? ??0??0?? ?1? ?100????010????000?? ?6?3 ??36????3?3?3? ??3 ?6?? ? ? 1?? 01? ?? 定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有PTAP?B，则调整P的任意两行，对角阵形式不变。
证明：设初等变换的对调变换矩阵为J，显然JTJ?EJTAJ?JAJT?A于是有 B?PAP?PEAEP?P(JJ)A(JJ)P?(JP)(JA)JP?(JP)A(JP) t T T T T T T T 而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，因此任意调整P的行，所得对角阵相同 [注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？ ?2 例4．求实对称矩阵A???2 ???0 ?21?2 0? T? ?2求可逆阵P使得PAP为对角阵?0?? ?2??2? ?A??0?????E??1 ?0???0 ?21?XX 0? ??2 ? 0?c2?c1 ?????r2?r1 0?0??1?? T ?2 ?0??0??1?0???0 0?1?2110 0? ??2 ? 0?c3?2c2 ?????r3?2r2 0?0??1???2 ?0??0??1?0???0 0?10110 0? ?0?4???2??2? ?1?? ?1 ?P?1 ???0??2?P1??2 ???0 ?2? ??2 ?1?? PAP?B ?4 ?B1?0 ???0 0?10 0? ?0?2?? 1? ?T 1我们得到P1AP?B1?0?? 定理7：设PTAP?BA,对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到B1，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得P1TAP1?B，即P的列与B中元素的对应性。
证明：初等调换矩阵为J，显然JT?J ?B1?JBJ?JPAPJ?(PJ)A(PJ)?P1AP?P与P1相比，只是列的排列顺序发生了改变?P的列与B的对角线上元素具有对应性 T T T T 1 1 自己写例 定理8：如果对角线上的元素分别扩大C12,C22,?Cn2得B2，则不要将P中对应的对应角线元素扩大C11，即可得到P2使得P2TAP2?B2 ?C1? ? 证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为J2形J2??C，则?2? ??1?? 有B2?J2TBJ2(J2T?J2) ?B2?J2PPJ2?(PJ2JAPJ2)?P1AP1 ?B2中第J个元素为B的C1倍而P2?PJ2，且其P2中对角线J个元素是P中对角线元 2 T T T T 素CJ倍 2?1 ?21 例：已知对称矩阵A?? ?11? ??1?3?1?0 解A?? ?1???1 0?3?1?1 1?131 1131 ?1???3 ?求可逆矩阵P，使PTAP且对角形式1??0? 0?122 ?1? ??1 ?2??0? ?1?0?1???10?3 ??? ?0?11???0???1?1 目录 摘要...............................................................................................................I引言................................................................................................................11矩阵间的三种关系.......................................................................................矩阵的等价关系........................................................................................矩。