机械振动理论与应用,第 3 章 单自由度系统的振动,兰州理工大学李有堂编著,3.1 振动系统模型及其简化,一、单自由度系统的基本模型 平动运动系统 摆动运动系统 m：质块 c：阻尼器 k：弹簧,,,,二、单自由度系统模型的简化 内容：将机构模型简化为力学模型 本质：离散化；近似；,机床及其基础,电动机和粱,连杆机构,飞轮机构,3.2 单自由度系统的自由振动,一、单自由度线性系统的运动微分方程及其系统特性 牛顿运动定律 定轴转动方程 能量原理 拉格朗日方程,,,,1、牛顿运动定律法,,,,,,,,单自由度线性系统的运动微分方程 这是一个二阶常系数、非齐次线性微分方程 方程的左边完全由系统参数m、c、k所决定，反映了振动系统本身的自然特性 方程的右边则是外加的驱动力F(t)，反映了振动系统的输入特性弹簧和阻尼器垂直放置，系统受到重力的影响，弹簧被压缩或伸长，其静变形量δst为：,,,,,振动系统的动态特性 单自由度线性系统的微分运动方程是一个二阶常系数、非齐次线性微分方程 方程的左边由系统参数m、c和k决定，反映振动系统本身的自然特性，右边的项反映振动系统的输入特性和系统与输入的相互联系方式 线性系统中，可忽略恒力及其引起的静位移,,,,,,,2、Lagrange 方程法,,,,,,,,普遍形式 具有定常约束的系统 定常约束的保守系统,二、振动系统的线性化处理,,按照牛顿运动定律 隔振垫的支反力N(t)是机器的位移和速度的函数 按Taylor级数展开 省略高阶项,,,,,,常量，是恒力,,,,,,,,,,,例题：一个质量为m的均匀半圆柱体在水平面上作无滑动的往复运动，如图所示，圆柱体的半径为R，重心在c点，oc=r，物体对重心的回转半径为l，试导出系统的运动微分方程。
解：设半圆柱体的角位移为θ(t)，瞬时与水平面的接触点为b，对b取矩有 由余弦定理,,,,对于微小振动 从而得到,,,,,,,三、单自由度无阻尼系统的自由振动,1、自由振动的微分方程 对无阻尼的自由振动，c=0，F(t)=0，从而得到无阻尼自由振动的运动微分方程为： 记： 无阻尼振动的标准方程,,,,设方程的特解为,,得到特征方程 特征根为： 得到运动方程的通解，即自由振动的运动规律,,,,,,,正弦和余弦函数是周期函数 可见，物体的运动是振动，系统自由振动的角频率为ωn，周期为 振动的周期只决定于物体质量m和弹性常数k，质量大而弹簧软的系统振动周期长，质量小而弹簧硬的系统振动周期短单位时间内的振动次数称为频率 频率是弹性系统的自然属性，称自然频率 在运动规律中 A1和A2是待定常数，由运动的初始条件决定，若记初始条件为：x(0)=x0， 从而得到系统的振动方程为,,,,,,,,,,2、无阻尼自由振动的特性,1) 单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，即谐波函数表示，故称为谐波振动，该系统称为谐振子 2) 自由振动的角频率，即系统的自然频率，仅由系统本身的参数确定，与外界激励和初始条件无关。
3) 无阻尼自由振动具有“等时性”，即线性系统自由振动的周期由系统本身的参数所确定，与外界激励和初始条件无关这说明自由振动显示了系统内在的特性, 这种现象说明谐波振动具有“等时性”4) 自由振动的振幅A和初相角ψ由初始条件所决定 5) 单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动，这意味着系统一旦受到初始激励的作用，就将按振幅A始终振动下去 6) 振动包括两部分，一部分与余弦成正比的振动，决定于初位移，另一部分与正弦成正比的振动，决定于初速度推离平衡位置，不给初位移，只有第一部分，在平衡位置给初速度，只有第二部分3、谐波振动的几种表示方法,谐波振动常用的几种表示方法： 三角函数表示法 旋转向量表示法 复数表示法 三角函数表示法,,,,,旋转向量表示法,,复数表示法,,,,,,,,,复速度,复速度,,4、等效刚度,建立系统的力学模型，需要确定系统的等效质量和等效刚度 刚度是指系统在某点沿指定方向产生单位位移(角位移)时，在该点沿同一方向所要施加的力(力矩) 拉压刚度 弯曲刚度 扭转刚度 组合刚度,1)拉压刚度,由材料力学 由刚度定义 拉压刚度为,,,,2)弯曲刚度,由材料力学 由刚度定义 弯曲刚度为,,,,,,,3)扭转刚度,由材料力学 由刚度定义 扭转刚度为,,,,,,,,,,4)组合刚度,若干个弹簧串联或并联起来使用，需要将若干个弹簧折算成一个等效弹簧来处理，这种等效弹簧的刚度与原系统组合弹簧的刚度相等，称为等效刚度，也称为组合刚度。
串联弹簧的等效刚度,,,,,,,,,并联弹簧的等效刚度,,,,,,,,,例题：求图示各振动系统的自然频率,,解：(a)根据串并联弹簧系统的特点，k1的两根谈弹簧为并联，等效刚度为2k1，而等效后2k1弹簧又与k2是串联b)当质块m发生位移x时，弹簧k1、k2和k3同时发生位移x，则3个弹簧是并联关系，则有,,,,,(c)该系统是悬臂梁和弹簧的组合系统，B点处的变形为,,,,,,5、等效质量,1）弹簧的等效质量 如图所示的质量-弹簧系统，弹簧在平衡时的长度为l，线密度为ρ(kg/m)，求系统的等效质量 质块的运动方程为,两边乘以 得到,,,,,,动能 势能 总能量 方程表示能量守恒振动位移x(t)最大时， 在平衡位置，x(t)=0，,,,,,,,两边积分得到,,,,弹簧dξ段的动能为 整根弹簧的动能为 等效质量为,,,2）弹性梁的等效质量,如图所示的弹性梁系统，其长度为L，弯曲刚度为EI，在梁的悬伸端放一质量为m的物体，梁的质量为m’，密度为ρ，试确定系统的等效质量 在距o点为l处的静挠度为 整段梁的动能为,,,弹性梁的等效质量为 整个系统的等效质量为 不计梁的质量时，系统的自然频率为 考虑梁的质量时，系统的自然频率为,,,,,例：如图所示系统，假定盘很薄，并且做无滑动的纯滚动。
以从平衡位置算起盘的中央的位移为广义坐标，求系统的等效刚度和等效质量解：盘作纯滚动，滑轮的角位移θ(t)和质块的向下位移y(t)为,,,,.,系统的等效刚度为 系统的动能为 盘很薄， ，盘做纯滚动， 系统的等效质量,,,,,,,,四、自然频率的计算方法,1、 公式法 可以通过建立振动微分方程的方法来求解系统的自然频率 例：如图所示的质块-滑轮系统，绳与滑轮间是纯滚动，求系统的运动微分方程和自然频率选m1的位移x(t)为广义坐标，设滑轮中心位移为y(t) ，则有 向m1上等效得到 等效质量为,,,,,,等效刚度为,,系统的振动方程为,,系统的自然频率为,,2、静变形法 对于如图所示的弹簧-质块系统，由于 有 只要计算或测量出系统的静变形，即可求得系统的自然频率3、能量法 系统振动时，能量守恒，只是在动能和势能之间进行周期性的转换，总能量始终保持不变，即 T1+V1=T2+V2 对两个特殊时刻：在静平衡位置，系统的势能等于零，而动能达到最大值Tmax；在最大位移处，系统的动能为零，而势能达到最大值Vmax，从而有,,例：测量低频振幅用的传感器中的无定向摆如图所示，摆轮2上铰接摇杆1，其质量不计，摇杆1的另一端装一敏感质量m，并在摇杆上联结刚度为k的两弹簧以保持摆在垂直方向的稳定位置，若记系统对O点的转动惯量为Io，其余参数如图所示，确定系统的自然频率。
解：选 为广义坐标,,,,,系统的最大动能为 弹簧储存的最大势能为,,,物体重心下降到最低点处失去的势能为,,,,五、有阻尼系统的自由振动,1、有阻尼系统的自由振动规律 如图所示的单自由度有阻尼的自由振动系统，其运动微分方程为：,,,,方程的通解为： 特征方程 特征根 方程的通解为,,,,,,1) 无阻尼(ξ=0)情况 ξ=0，c=0 应用Euler公式,,,,,,,记 这种情况下两个特征根在复平面的虚轴上，且处于与原点对称的位置，为等幅振动2) 小阻尼( )情况 特征方程 有共扼复数根 为有阻尼自然频率,,,,,,,,,常数X和由初始条件x0、v0决定 当ξ=0时，退化为无阻尼的形式 讨论： 系统的特征根s1、s2为共扼复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减阻尼率ξ值越大，振幅衰减越快 特征根虚部的取值决定了自由振动的频率阻尼自然频率低于无阻尼自然频率表现在旋转向量中，则是由于阻尼的作用减慢了向量旋转的角速度 初始条件x0、v0只影响有阻尼自由振动的初始振幅X与初相角,3) 过阻尼( )情况 特征方程 特征值为实数 常数X1和X2由初始条件x0、v0决定。
系统的运动规律中没有周期性变化的因子，因此不是振动4） 临界阻尼( )情况 特征根为两重根 常数X1和X2由初始条件决定，以初始条件x0、v0代入，得到 系统的运动规律中也没有周期性变化的因子，不是振动,,,,,,,,5) 负阻尼( )情况 特征值s1、s2处于复平面的右半平面，而x(t)表现为一种增幅运动，是自激振动2、对数衰减率,自然频率ωn和阻尼率ξ是表征振动系统特性的重要参数 ωn：由实验测定或辩识出 ξ：一般利用自由振动的衰减曲线计算为了提高测量与计算的准确度，可将x(t1)、x(t2)分别选在相应的峰值处,,,,,,,对于正阻尼恒有x(t1)x(t2)，上式表示振动波形按照的比例衰减，且当阻尼率ξ越大时，衰减越快 δ：对数衰减率 当ξ很小时， ，可略去,,,,,,常常测量间隔j个振动周期jT的波形，以便更精确地计算出δ值 两边取对数 只要取足够大的j，测取振动位移x(t1)、x(t1+jT),,,,4.4 谐波激励下的强迫振动,强迫振动：系统在持续的外激励作用下所产生的振动 持续的振动 谐波激励：最简单的激励 特点： 激励和响应均为谐波 线性系统求解的基础,一、谐波激励下系统振动的求解方法,F(t)：谐波激励，力量纲 f(t)：位移量纲。
激励函数f(t)与系统的响应x(t)均具有位移量纲 ：谐波力的力幅，是与谐波激励的力幅F相等的恒力作用在系统上所引起的静位移1、解析法 设特解为：,,,,,对于任意时刻t都成立，等号两边正弦和余弦的系数必须相等,,,,,,,,2、图解法 原理：向量和方程存在着对应关系,,,,,,恒等式：用向量图解法左边三项为相互垂直的向量，恒等式右边的项应该与前三项组成一个封闭多边形3、系统的运动特性,1) 在谐波激励的作用下，强迫振动是谐波振动，振动的频率与激振力的频率ω相同 2) 强迫振动稳态振幅X和相位角都只取决于系统本身的物理特性，和激振力的大小与频率有关(A，ω)，而与初始条件无关初始条件只影响系统的瞬态振动 3) 响应的振幅X与激励的振幅A成正比 4) 相位差表示响应滞后于激励的相位角4、振动系统的全部响应,运动微分方程 的解包括两部分：齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的一个特解谐波激励下的强迫振动的全部解为： 自由振动 强迫振动 瞬态振动 持续振动,,,,,二、谐波激励下的无阻尼强迫振动,1、无阻尼强迫振动的运动规律 无阻尼振动，ξ=0，,,,,,无阻尼系统的全解为 初始条件： 联立求解：,,,,,,,,,,,,,,,,强迫振动部分 自由振动部分 很快衰减 可见，即使是零初始条件，强迫振动的解也是两个不同频率的谐波振动之和。
两部分谐波振动共存的阶段为过渡阶段 动力系数：振幅与激励幅值引起的静位移之比,,,,,,2、动力系数的性质,1)动力系数β是无量纲的 2)动力系数β只与激励频率和系统的自然频率之比 有关，与其他因素无关 3)动力系数β可大于或小于1、可正可负，正号表示位移与激励同步，相位差为0o，负号表示位移与激励反相，位移落后激励。