椭圆知识点总结及经典习题

1圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程----椭圆椭圆知识点知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点 F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭212FFa 圆，即点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；这里两个定点 F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c时为线段，无轨迹） 212FFa 21FF212FFa 2．标准方程： 222cab①焦点在 x 轴上：（a＞b＞0） ； 焦点 F（±c，0）12222 by ax②焦点在 y 轴上：（a＞b＞0） ； 焦点 F（0, ±c） 12222 bx ay注意：①在两种标准方程中，总有 a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 22 1xy mn二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b12222 by ax（2）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a12222 bx ay2.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，-b） ，B2（0，b）（2）线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a，短轴长等于 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率2（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，2 2c aac记作 e（） ，奎屯王新敞新疆 10 e2 22 21 ( )beaa c是圆；e0e 越接近于 0 （e 越小） ，椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1 （e 越大） ，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、 （共四个量） ， 特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5．椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.00(,)P xy22221(0)xyabab22 00 221xy ab（2）点在椭圆的外部.00(,)P xy22221(0)xyabab22 00 221xy ab6.几何性质 （1）点 P 在椭圆上， 最大角12122max,FPFFB F （2）最大距离，最小距离7.直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式： （3）中点弦问题：韦达定理法、点差法3例题讲解：例题讲解：一.椭圆定义：１．方程化简的结果是 10222222yxyx2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是 ABC4,0 ,4,0ABABC18C3.已知椭圆22169xy＋=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点距离 为 二．利用标准方程确定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数 k 的取值是 .25x k23y k （2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 .2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦22425100xy点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3．椭圆的焦距为，则= 。

22 14xy m2m4．椭圆的一个焦点是，那么 5522 kyx)2 , 0(k三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为 4,0)(0, 3)2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 213a 212c 3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为x1:2:ba6c4. 已知三点 P（5，2） 、（－6，0） 、（6，0） ，求以、为焦点且过点 P 的椭圆的1F2F1F2F标准方程；变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程224936xy(3, 2)四．焦点三角形41．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 22 1925xy1F2FAB1F2ABF2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是1F2F400251622yxP21FPF多少？的面积的最大值是多少？21FPF3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积P22 12516xy12,F F12FPF12FPF为 变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点． 若，14416922yx1F2FP6021PFF求的面积．21FPF五．离心率的有关问题1.椭圆1422 myx的离心率为21，则m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率 为 0120e3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在ABC△中，3, 2|| ,300ABCSABA．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e  ． 六、最值问题：1、已知椭圆，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 2 214xy  2.椭圆两焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，2 214xy  5七、弦长、中点弦问题1、已知椭圆及直线．1422 yxmxy（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．51022 已知椭圆，1222  yx(1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程22（2）求过点且被平分的弦所在直线的方程；  21 21，PP同步测试同步测试1 已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为( ) A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2、椭圆左右焦点为 F1、F2，CD 为过 F1的弦，则CDF1的周长为______22 1169xy  3 已知方程表示椭圆，则 k 的取值范围是( )22 111xy kk    A -10 C k≥0 D k>1 或 kb>0)的左、右焦点 F1、F2作两条互相垂直的直线 l1、l2，它x2a2y2b2们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A．(0,1) B. C. D.(0，22)(22，1)(0，22]2．椭圆＋＝1 的焦点为 F1、F2，椭圆上的点 P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的x2100y264面积是( )A. B. C. D.64 3391 3316 336433．已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率等于( )4 已知点 F，A 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满x2a2y2b2足·＝0，则椭圆的离心率等于( ) FB→AB→A. B. C. D.3＋125－123－125＋125．已知椭圆＋＝1 的左右焦点分别为 F1、F2，过 F2且倾角为 45°的直线 l 交椭圆于x24y22A、B 两点，以下结论中：①△ABF1的周长为 8；②原点到 l 的距离为 1；③|AB|＝ ；正确83结论的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．06．已知圆(x＋2)2＋y2＝36 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是( )A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线87．过椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点作圆 x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为x2a2y2b2A，B，若∠AOB＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆 C 的离心率为________．8 若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线 x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率 e 的取值范x2a2y2b2围是________．9．已知△ABC 顶点 A(－4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆＋＝1 上，则x225y29＝________.sinA＋sinCsinB10．已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为 4.x2a2y2b2(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 y＝x＋2 相切，求椭圆 C 的焦点坐标；.11．椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率 e＝ . (1)12求椭圆 E 的方程；。