ba梯形 2梯形 AADE AABE 2 23：勾股数① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 + b2 = c2中，a，b，c为 正整数时，称a，b， c为一组勾股数② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25等第—课时第十八章勾股定理一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方即：a2+b2 = C2）要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性 质之一，其主要应用：（1） 已知直角三角形的两边求第三边（在AABC中，ZC = 90则c = \：a2 + b2 ， b = xc2 一a2 ， a = i：'c2 一b2 ）（2） 已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两 边（3） 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4S + S = S ，4 x -ab + （b - a） = c2，化简可证.A 正方形EFGH 正方形ABCD 2方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4x丄ab + c2 = 2ab + c22所以 a 2 + b2 = c 2大正方形面积为S = (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 21 1 1方法三：S =_(a + b)-(a + b)，S = 2S + S = 2•— ab + — c，化简得证③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 - 1,2n,n2 +1（ n > 2, n为正整数）;2n + 1,2n2 + 2n,2n + 2n +1 （ n 为正整数）m2 一 n2,2mn,m2 + n2 （ m > n, m， n 为正整数） 规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目3. 勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知 识在应用过程中易犯的主要错误二、经典例题精讲题型一：直接考査勾股定理例1.在 AABC 中，ZC = 90⑴已知AC = 6 , BC = 8 .求AB的长⑵已知AB = 17 , AC = 15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2 + b = c2解：⑴ AB 八 AC2 + BC2 = 10(2) BC 八 AB2 — AC2 = 8题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理 AC2+BC2=AB2,即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 AC=12.例题2如图（8）,水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.A解析：同例题1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知△ ACD中,ZACD=90°，在RtAACD中，只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5X2+I.52二(x+0.5) 2解之得x=2.故水深为2米.题型四：利用勾股定理求线段长度例题4如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将厶ADE折 叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量合理设元是关键详细解题过程如下：解：根据题意得RtAADE9RtAAEF.•・ZAFE=90° , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,则 DE=EF=CD—CE=8—x在RtAABF中由勾股定理得：AB2+BF2二AF2,即卩 82+BF2=102,.*.BF=6cm .. ,n.•・CF=BC—BF=10 — 6=4(cm)\ s在RtAECF中由勾股定理可得：JL-MLEF2=CE2+CF2，即(8—x) 2=X2+42图464 — 16x+x2=2+16.°.x=3(cm)，即 CE=3 cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积第课时第十八章勾股定理一■基础知识点：1:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转 化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1） 首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2） 验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若C2=a2+b2，则厶ABC是以ZC为直角的直 角三角形（若C2>a2+b2,贝仏ABC是以ZC为钝角的钝角三角形；若C2
如果把其中一个 叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例：勾股定理与勾股定理逆定理）、经典例题精讲 题型一：勾股定理和逆定理并用例题3如图3,正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB = ； AB那么△ DEF是直角三角形吗？为什么？4解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑仔细读题会意 可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB = 2AB可以设 AB=4a，那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAAFD、RtABEF 和 RtACDE 中，分别 利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直 角三角形详细解题步骤如下:解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在 RtACDE 中，DE?二CD2+CE2=(4a”+(2 a)2=20 a2 同理 EF2=5a2, DF2=25a2在厶DEF 中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2.•.△DEF是直角三角形，且ZDEF=90° .注:本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型二：利用勾股定理逆定理判断垂直一一例题5如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与A B 边和 CD 边，他测得 AD=80cm, AB=60cm, BD=100cm, AD 边与 AB 边 垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量我们通常截取部分长度来验证如图4,矩形ABCD表示桌面形状，在AB 上截取AM=12cm,在AD 上截取AN=9cm（想想为什么要设为这两个长度？），连结MN,测量MN的长度① 如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；② 如果 MN=aM15，则 92+122=81+144=22 5, a2工225,即 92+122工 a2,所以ZA 不是直角利用勾股定理解决实际问题例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙 上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学 生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米转化为数学模型，如图6所示，A点表示控制灯,BM表示人的高度，BC〃MN,BC丄AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。
已知AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开题型三：旋转问题：例1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将厶ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ ACP'重合, 若AP=3，求PPZ的长变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB= 2込,PC=4,求厶ABC的边长.B.分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中,」 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，AABC为等腰直角三角形，ZBAC=90°, E、F是BC上的点，且ZEAF=45 试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由.8题型四：关于翻折问题例1、 如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰 在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是厶ABC的中线，ZADC=45°，把△ ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'的位置，BC=4，求BC'的长.题型五：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学， AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时， 周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方 向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知 拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型六：关于最短性问题例5、如右图1 — 19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己 的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走 直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功， 获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14，结果保留1位小数，可 以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个。