第二章资产收益率及收益率分布性质中山大学

金融时间序列分析金融时间序列分析 第一章 资产收益率及收益率分布性质 第二章 线性时间序列分析1.1资产收益率一、单期简单收益率 若从第 天到第 天持有某种资产，则简单毛收益率为 简单净收益率为二、多期简单收益率 若从第 天到第 天这 个周期内持有某种资产，则 期简单毛收益率为 期简单净收益率为 如果持有资产的期限为 年，则（平均的）年化收益率定义为 年化的 可以用下式计算 可以用一阶泰勒展开来近似年度化的收益率，得到 年化的考虑一个案例 假定银行存款年利率为10%，存款本金为1美元一般地，如果银行一年付息m次，那么每次支付利息为10%/m,一年后存款的净值变成 美元 下表为连续复合效果的演示类型类型支付次数支付次数每期利率每期利率净值净值一年10.1＄1.100 00半年20.05＄1.102 50季度40.025＄1.103 81月120.0083＄1.104 71周520.1/52＄1.105 06天3650.1/365＄1.105 16连续地∞＄1.105 17 发现净值趋于 一般地，连续复合的资产净值A为 称为n年后价值为A的资产的现值三、连续复合收益率 资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率或对数收益率 对于多期收益率可写成以下形式 即连续复合多期收益率就是它所包含的连续复合单期收益率之和。

四、资产组合收益率 若一个资产组合由N个资产组成，则该资产组合的简单净收益率就是它所包含的各个资产的简单净收益率的加权平均五、分红支付情况下的简单净收益率和连续复合收益率 设 是一个资产在 天和第 天之间的分红，由于分红并没有包含在 中，因此简单净收益率和连续复合收益率变为六、超额收益率 一个资产在 时刻的超额收益率是该资产的收益率与某个参考资产的收益率之差简单超额收益率和对数超额收益率分别定义为 和 分别是该参考资产的简单收益率和对数收益率 关系小结ü简单收益率 与连续复合收益率 的关系是：ü 连续复合多期收益率是它所包含的连续复合单期收益率之和：ü 资产的现值与资产的未来值之间的关系为：1.2收益率的分布性质 一、回顾统计分布 1、X和Y的联合分布可定义为： 其中： 为联合分布函数中的参数假定 X与Y的联合概率密度函数 ，并且严格有定义，则有： 2、与联合分布相对的概念是边际分布。

例如，X的边际分布可以通过将联合分布中与X不相关的赋值设为 来获得: 当X是一个一维的随机变量而不是向量形式时，边际分布的定义就成为下面常见的形式： 这一公式在统计学中也称为X的累积分布函数，其取值范围在0与1之间虽然CDF的概念稍微有些抽象，但是其在金融计量学中有着广泛的应用，特别是在计算统计量的p-值过程中非常有用例如，利用F分布的累积分布函数可以计算F检验统计量的p-值 3、条件分布，顾名思义，就是随机变量在给定条件下的分布例如，给定 的条件，X的条件分布可以定义为： 如果利用前面提到的概率密度函数的概念，还可以写成： 其中, 表示边际分布函数，并且满足二、随机变量的距与期望 从统计学角度来说，一个随机变量X的第 n 阶矩可以定义为： 随机变量的1阶矩叫做均值 随机变量的2阶矩叫做方差 随机变量的3阶矩又称为偏度，它度量了随机变量分布的非对称程度 随机变量的4阶矩又称尾峰度，其衡量随机变量分布的尖峰程度或平坦程度 有用的运算规则:三、收益率的分布 对数收益率 的最一般的模型是它们的联合分布函数： 其中 是由一些变量组成的状态向量，这些变量描述了决定资产收益率的环境， 是唯一决定分布函数 的参数向量。

四、资产收益率的几种分布1、正态分布2、对数正态分布 假定 ，则简单收益率的均值和方差分别为3、稳定分布4、正态分布的尺度混合第2章 线性时间序列分析 把资产收益率（如股票的对数收益率 ）看成随时间推移而形成的一族随机变量，我们就有了一个时间序列 本章主要介绍关于线性时间序列 的经济计量模型，例如AR模型、MA模型、ARMA模型等2.1平稳性 弱平稳的定义： 对于随机时间序列 ，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t变化而变化，则称 为弱平稳随机变量，即对于所有时间t， 必须满足以下条件： (i) 为不变的常数； (ii) 为不变的常数； (iii) 弱平稳性意味着数据的时间图显示出T个值在一个常数水平上下 以相同幅度波动  对于一个弱平稳过程 ，自相关函数并且： 平稳性检验的图示判断 ß给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。

ß一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；ß而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降） 2.2相关系数和自相关函数 随机变量x和y的相关系数模型为： 自相关函数，即 与 的自相关函数定义为： 一般将 相对于滞后期数 绘制出的图示称为自相关图 假定 是一个随机变量，自协方差定义的是 与其自身滞后期之间的协方差，即“自身的协方差”常见的协方差的基本定义是： 其中： 表示期望从而可以知道， 与其自身滞后期 之间的协方差定义为：  对于均值保持不变的随机过程来说， 时，即为方差：2.3白噪声和线性时间序列一、白噪声（一、白噪声（white noisewhite noise）） 若 是一个具有有限均值和有限方差的独立同分布随机变量序列，则称 为一个白噪声序列。

对于 有 ，若 还服从 的正态分布，则称该序列为高斯白噪声 白噪声过程的自相关图二、线性时间序列二、线性时间序列时间序列 称为线性序列，如果它能写成其中 是 的均值， ， 是白噪声序列若 是弱平稳的，利用 的独立性得到 的均值和方差 因为 ，而 ，所以 必须收敛，当 时， .随着 的增大， 收敛到0当 较大时，当前收益率 对遥远过去的收益率 的线性依赖会消失2.42.4时间序列模型的基本概念时间序列模型的基本概念 一、时间序列模型的基本概念 时间序列模型（time series modeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为 Xt=F(Xt-1, Xt-2, …, t) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： (1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ t = t ），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)(Autoregressive process)： Xt=Xt-1+ t这里， t特指一白噪声。

 一般的p阶自回归过程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t (*) (1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pure AR(p) process），记为 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p +t (2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（moving average）过程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 -  - qt-q 该式给出了一个纯MA(q)过程（pure MA(q) process） MA模型的引入 将MA模型看成参数受某种限制的无穷阶AR模型来引入 无穷阶AR模型为： 使以上AR模型有实际意义的一个 方式是假定其系数满足某种限制，如以下特殊情形：其中参数只依赖于单个参数 ；写成紧凑形式 ① ②在②式两边乘 ，再减去①式，得到 MA(1)模型的一般形式为 将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressive moving average）过程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 -  - qt-q 该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的滞后值以及随机扰动项来解释。

2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来 这也正是随机时间序列分析模型的优势所在 例如，对于如下最简单的宏观经济模型： 这里， 、 、 分别表示消费、投资与国民收入 与 作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资 的运动及随机扰动项 的变化决定的 上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为如果It是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1) 自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况 关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容：主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计 2.52.5随机时间序列模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性条件 1、AR(p)模型的平稳性条件 随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。

如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的， 否则，就说该AR(p)模型是非平稳的 考虑p阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p +t (*) 引入滞后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, …, LpXt=Xt-p(*)式变换为 (1-1L- 2L2-…-pLp)Xt=t 记(L)= (1-1L- 2L2-…-pLp),则称多项式方程 (z)= (1-1z- 2z2-…-pzp)=0 为AR(p)的特征方程(characteristic equation) 可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的  AR(1)模型的平稳性条件 对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 ||<1。

 而AR(1)的特征方程 的根为 z=1/ AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根大于1 AR(2)模型的平稳性条件 对AR(2)模型 方程两边同乘以Xt，再取期望得： 又由于于是 同样地，由原式还可得到于是方差为 由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+2<1, 2-1<1, |2|<1这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形 对应的特征方程1-1z-2z2=0 的两个根z1、z2满足： z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2 AR(2)模型解出1，2由AR(2)的平稳性，|2|=1/|z1||z2|<1 ，则至少有一个根的模大于1，不妨设|z1|>1，有于是| z2 |>1由 2 - 1 <1可推出同样的结果 对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p)模型稳定的必要条件是： 1+2++p<1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是： |1|+|2|++|p|<1 对于移动平均模型MA(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 -  - qt-q 其中t是一个白噪声，于是 2、MA(q)模型的平稳性 当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。

因此:有限阶移动平均模型总是平稳的  由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 -  - qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平稳性 而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性 当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，不是平稳的小结小结 （1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型 因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving average）时间序列，记为ARIMA(p,d,q) 例如，一个ARMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。

当然，一个ARMA(p,0,0)过程表示了一个纯AR(p)平稳过程；一个ARMA(0,0,q)表示一个纯MA(q)平稳过程 所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程 所 使 用 的 工 具 主 要 是 时 间 序 列 的 自 相 关 函 数（autocorrelation function，ACF）及偏自相关函数（partial autocorrelation function， PACF ） 2.62.6随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的识别1、AR(p)过程 (1)自相关函数（ACF） 1阶自回归模型AR(1) Xt=Xt-1+ t 的k阶滞后自协方差为：=1,2,… 因此，AR(1)模型的自相关函数为 =1,2,… 由AR(1)的稳定性知||<1，因此，k时，自相关函数呈指数形衰减，直到零这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinite memory）。

注意， <0时，呈振荡衰减状  Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t 该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1, 2分别为 ２阶自回归模型AR(2) 类似地,可写出一般的k期滞后自协方差： (K=2,3,…) 于是,AR(2)的k 阶自相关函数为： (K=2,3,…)其中 :1=1/(1-2), 0=1如果AR(2)稳定，则由1+2<1知|k|衰减趋于零，呈拖尾状至于衰减的形式，要看AR(2)特征根的实虚性，若为实根， 则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减 一般地，p阶自回归模型AR(p) k期滞后协方差为: 从而有自相关函数 : 可见，无论k有多大，k的计算均与其１到p阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状 如果AR(p)是稳定的，则|k|递减且趋于零 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 +… pXt-p + t 其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|<1; 因此，当1/zi均为实数根时，k呈几何型衰减（单调或振荡）； 当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项，k呈正弦波衰减。

事实上，自相关函数是一p阶差分方程，其通解为 （2）偏自相关函数（PACF ） 自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系 例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要 是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:即：自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关 与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partial autocorrelation，简记为PACF)则是消除了中间变量Xt-1，…，Xt-k+1 带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量 从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为 在AR(1) Xt=Xt-1+ t 中， 同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零 AR(p)的一个主要特征是:k>p时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的 一随机时间序列的识别原则： 若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即k>p时，k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序列。

 对MA(1)过程 2、MA(q)过程 可容易地写出它的自协方差系数： 于是，MA(1)过程的自相关函数为：可见，当k>1时，k=0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的  MA(1)过程可以等价地写成t关于无穷序列Xt，Xt-1，…的线性组合的形式：或（*） (*)是一个AR()过程，它的自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的 注意: (*)式只有当||<1时才有意义，否则意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理 因此，我们把||<1称为MA(1)的可逆性条件（invertibility condition）或可逆域 其自协方差系数为 一般地，q阶移动平均过程MA(q) 相应的自相关函数为 可见，当k>q时， Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当k>q时， k=0是MA(q)的一个特征 于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶 与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。

MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截尾，即自q以后，k=0（ k>q）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均MA(q)序列  ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物 当p=0时，它具有截尾性质； 当q=0时，它具有拖尾性质； 当p、q都不为0时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常： ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零； 而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零 3、ARMA(p, q)过程  图图 ARMA(p,q)模型的模型的 ACF与与 PACF 理论模式理论模式 ACF PACF 模型模型1：： tttXXe+=-17 . 00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1Thank you for listening!。