第一节 复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考1一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向,2简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的 内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向.32.积分的定义:4(5关于定义的说明:6二、积分存在的条件及其计算法1. 存在的条件证正方向为参数增加的方向,78根据线积分的存在定理,9当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 10在形式上可以看成是公式112. 积分的计算法12在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.13例1 解(1) 直线方程为1415这两个积分都与路线C 无关16例2 解 (1) 积分路径的参数方程为y=x17(2) 积分路径的参数方程为y=x18y=x(3) 积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为19例3 解积分路径的参数方程为20例4 解积分路径的参数方程为21重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.22三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式23性质(4)的证明两端取极限得[证毕]24例5解根据估值不等式知252627四、小结与思考本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握计算复积分的一般方法.28思考题29作业：P46 1.(2)(4) 30思考题答案即为一元实函数的定积分.放映结束，按Esc退出.31。