数学通讯一2010年第9期(下半月) ·复习参考· 一道高考题与圆锥曲线的光学性质 郑观宝 (安徽省歙县中学，245200) l问题引入 2010年高考安徽卷理科第19题(即文17)：如图 1，已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦 点F-，F2 轴上，离心率为{． (1)求椭圆E的方程 (2)求 F1AF2的角平 分线所在的直线Z的方程； (3)在椭圆E上是否存 在关于直线l对称的相异的 两点?若存在，请找出，若不 存在，请说明理由． 容易计算得，椭圆E的 J F 图 l 方程为 + =1．下面我们研究后两问． 2圆锥曲线焦点三角形内角(或外角)的平分线 第(2)问，求 FlAF2的角平分线所在的直线l 的方程，人口宽，思维难度较低，计算量不大，求解方 法很多，主要思考方向有：1)轨迹法；2)三角与向量 法；3)平面几何法；4)椭圆“焦点三角形”性质法． 下面我们从另一个角度来解决这个问题——椭 圆的光学性质． 分析 由于椭圆具有下列光学性质：当光线从焦 点F1出发，经过椭圆上的点A反射后，一定汇聚在 另一焦点F2，并且椭圆在点A处的切线Z 相当于平 面镜， FlAF2的平分线Z是反射过程的法线．因 此，我们只要求出椭圆在点A处的切线方程即可． 2 2 解因为点A(2，3)在椭圆 + =1上，所以 1U ■ ，’～ 0．． 该椭圆在A处的切线方程为z ： 十 =1即 + 2v一8：0．由光学性质可得，直线z与该切线相互垂 直，所以直线l的方程为Y一3：2( 一2)即2x～Y一 1：0． 点评这种利用椭圆的光学性质求直线l的方 程的方法，应该是所有方法中最快、最简洁的方法，并 且可以非常顺利地将其推广到一般性问题中． ’ ’ 推广1 设椭圆 X-十Y，_S2=1(n>b>0)的焦点 为Fl，F2，点A(z0， o)为椭圆上一个定点(除长轴端 点)，~LF1AF2的平分线所在的直线l的方程为Y (一 ． 证因为椭圆在点A处的切线方程为z ： + yoy=1，由光学性质可知z上 ，所以直线 的方程为 = (X--XO)． 推广2 如图2，设双曲 线 一 1(口，6>0)的焦 点为F1，F2，点A(X0，Yo)为 双曲线上一个定点(除实轴端 点)，则 FlAF2的外角平分 线所在的直线 的方程为 一 一 (Z--Xo)．(证日月略) y ～ ‘＼ ． ／ 图 2 推广3 设抛物线Y =2px(P>0)的焦点为 F，点A(z0，Y0)为抛物线上一个定点(除顶点)，过点 A作与Y轴垂直的射线AP(点P在点A的右侧)，则 PAF的平分线所在的直线 的方程为Y—Yo= 一 ( 一．27o)．(证明略) 上面的研究我们利用了：从圆锥曲线焦点出发的 光线，经过圆锥曲线上某点反射，则入射光线与反射 光线所成的角的平分线垂直于在该点处的切线． 3第(3)问的进一步研究 由标准答案可知，椭圆上不存在不同的两点M、 N关于直线l对称(具体解答过程读者可以参阅 “2010年普通高等学校招生统一考试(安徽卷)参考 答案”)．那么椭圆上有哪些定点A，能使椭圆上不存 在不同两点M，N关于直线 对称呢? ．．2 2 问题已知：椭圆 + =1(n>b>0)的焦点 a— D一 为Fl，F2，点A( 0，Y0)为椭圆上的一个定点(除长轴 端点)， F1AF2的平分线所在的直线为l，问：此椭 ·复习参考· 数学通讯一2010年第9期(下半月) 57 圆上是否存在不同两点M，N关于直线z对称(如图 3)呢? 略解由题可知，显然 有Yo4：0． (1)当z0=0时，直线Z 就是Y轴，所以存在不同两 点M，N关于直线1对称． (2)当z0≠0时，则椭 圆在点A处的切线方程为 J A 1 I O + 并且 ¨ F1AF2的平分线所在的直线1的方程为 —Yo= (-xo)． 假设椭圆上M(xt，Y1)，N(x2， 2)两点关于直 线l对称，线段MN中点为D(D在直线Z上)，则 一 0=．a￡2~yo?YD 、 D—zo) ① 一如 2 o、如一zo) ① 由于{茎二霎 ：：两式相减得 = Yl-Y2一 =一 a YD=足切线=一 a Yo， 一 ^ 一 T 一 ^ ‘ - 。
’ - 化简得塑=xj，于是可设如=Xot，如= 0￡，将其代 YD YO 入①式得(￡一1)(1一 )=0，所以t=1，从而XD= z0，如=Yo，点D与点A重合，此即椭圆上存在三点 M，A，D共线，矛盾，故不存在满足题意的不同两点 MN． 综上所述，除椭圆短轴的端点外，对于椭圆上其 他任何定点A，都不存在满足题意的不同两点． 于是得到如下结论： 结论1 已知椭圆 + =1(a>b>0)的焦 点为Fl，F2，点A(x0，YO)为椭圆上一个定点(除长轴 端点)， FlAF2的平分线所在的直线为Z，则除点A 为椭圆短轴的端点外，对于椭圆上其他任何定点A， 都不存在关于直线Z对称的不同两点． 仿此，还有下列结论： 结论2 已知双曲线 一 =1(口，b>0)的焦 点为Fl，F2，点A(xo，Y0)为双曲线上一个定点(除实 轴端点)， FlAF2的外角平分线所在的直线为l，则 此双曲线上不存在不同两点M，N关于直线z对称． 证 由题可知 0Yo≠O，由于双曲线在点A处的 切线方程为 一 =1，9vf-RLF1AF2的外角平 a- 6 分线所在的直线Z的方程为 一一 (X--X0Y Yo )． 一 一 ‘ 设双曲线上M(x1，Y1)，N(x2，Y2)两点关于直 线1对称，线段MN中点为D，则 YD—Y一 (XDYD YO(XD-z。
) ② 一 一 0 I箜一 一1 抒傣螽赋棚 = 线=糍，化简得 x_ ooYD， 而 切线 间得一 0’ 于是可设XD= 0t，YD=Y0t，将其代入②式得(z一1) ·(1+ )=0，所以t=1，从而XD= 0，YD=Y0，矛 盾，即双曲线上不存在满足题意的不同两点M，N． 结论3 已知抛物线Y =2px(P>0)的焦点为 F，点A(x0，Y0)为抛物线上一个定点(除顶点)，过点 A作与Y轴垂直的射线AP(点P在点A的右侧)，设 的平分线所在的直线为z，则抛物线上不存在 不同的两点关于直线z对称． 证由题可知zoY0≠0，由于抛物线在点A处的 切线方程YYo=P( +X0)， 的平分线所在的 直线为l： —Yo=一 ( —XO)． 设抛物线上M(xl，Y1)，N(x2，Y2)两点关于直 线z对称，线段MN中点为D，则 YD—Y0：一XD—z0) ③ 由于l yi2：=22p x2l，两式相减得 ： Yl=- Y2= 2+p 是切线 ，解得如 如，代入③式得功 =z矛盾，即抛物线上不存在满足题意的不同两点 MN． 综上，我们有：从圆锥曲线焦点出发的光线，经过 圆锥曲线某定点(圆锥曲线的顶点除外)反射，设入射 光线与反射光线的角平分线方程为直线Z，则圆锥曲 线上不存在不同的两点M、N关于直线Z对称． (收稿日期：2010—06—22) 。