1.4 条件概率及有关公式一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式 四、贝叶斯公式1一、条件概率的定义及性质例, 设10张彩票中只有一张中奖票,10人 同时摸这10张,张三和李四各得一张记 A:{张三中奖} B:{李四中奖} 由古典概率模型知: 现在设李四先刮开彩票,已知李四有没 有中奖的信息对计算张三中奖的的可能 性大小有没有影响?2显然,如果李四中奖,那么张三就没 有机会中奖 也就是说:在事件B发生的条件下, 事件A发生的概率为0,记 P(A|B)=0如果已知李四没中奖,张三中奖的机 会有多大?也就是说:在事件B没发生的条件下, 事件A发生的概率为多少?3在“事件B已发生”的条件下,事件A 发生的概率称为B条件下A的条件概率, 记为P(A|B)定义:4分析: : n个样本点 B: m个样本点 AB: k个样本点在B已发生的条件下,试验结果为m 中的一个, 这时A发生当且仅当AB中的 某一样本点发生,故相当于“缩小了样本空间”5性质: (1)非负性: 0≤P(A|B)≤1 (2) 规范性: P(|B)=1 (3)可列可加性:若Ak (k=1, 2, …)两两互 斥,则 另有:P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)P(A1A2|B) 6例1 设某厂生产的灯泡能使用1000小时 以上的概率为0.9,能使用1500小时以上的 概率为0.3, 如果有一个灯泡已经使用了 1000小时没有损坏,求它能使用1500小时 以上的概率 解: A: “灯泡能使用1000小时以上” B:“灯泡能使用1500小时以上” 由已知: P(A)=0.9, P(B)=0.37又BA所求:P(AB)=P(B)=0.38二、乘法定理推广到一般情形中:若n个事件A1, A2, …, An满足条件： P(A1A2…Ak)>0 (k=1, 2, …, n1), 则： P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… P(An|A1A2…An1)有: P(AB)=P(B)P(A|B)9例2 设袋中装有 a只红球和 b (b≥3) 只 白球, 从中连续取球四次, 每次取一球,取 后不放回,试求第四次才取到红球的概率 解: Ai : “第 i次取到白球” (i=1,2,3,4)则:“第四次取到红球” :“第四次才取到红球” 10故:11三、全概率公式设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事件,且 P(Bi)>0 (i=1,2,…,n) ,若则AB1B2B3…12B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分:(1) B1,B2,…,Bn两两互不相容 (2) 或称 B1,B2,…,Bn为完备事件组13例3 有三个形状相同的罐,在第一个罐中 有2个白球和1个黑球,在第二个罐中有3 个白球和1个黑球,在第三个罐中有2个白 球和2个黑球,现任取一罐,从中取出一球, 试求取得白球的概率 解: A:“取到的是白球” Bi :“球取自第 i罐” (i=1,2,3)则B1,B2,B3是样本空间的一个划分 14由全概率公式:15我们把事件A看作某一过程的结果, 把B1,B2,…,Bk,…看作该过程的若干个原 因则我们可以用全概率公式计算结果 发生的概率,即求P(A)全概率公式的使用根据历史资料,每一原因发生的概率 已知,即已知P(Bk)而且每一原因对结果的影响程度已 知, 即已知P(A|Bk)16例4 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品,现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有,17又有,由全概率公式,有:关键: 划分18四、贝叶斯公式通常,由某一原因:互不相容的 B1,B2,…,Bn结果: A如果在试验前P(Bi)及P(A|Bi)已知,现 在进行一次试验,事件A的确发生了,重新 估计Bi ,即计算P(Bi|A) 19贝叶斯公式:设B1,B2,…,Bn互不相容,P(A)>0, P(Bi)>0,则:分析:20例5 某射击小组共有20名射手,其中一级 射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级 射手1人,一、二、三、四级射手能通过 选拔进入比赛的概率分别0.9,0.7,0.5,0.2, 现从该射击小组任选一人,若此人已通过 选拔进入比赛,问此人是一级射手的概率 是多少?解: A:“任选的一名射手能通过选拔进入 比赛” 21Bi :“任选的一名射手是i级射手”(i=1,2,3,4) 由已知:P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2所求概率为P(B1|A) 22由贝叶斯公式:“结果原因” 23。