没有极点也没有零点1.2 网络函数网络函数 如果将在无限远处的极点和零点都包括在如果将在无限远处的极点和零点都包括在内，一个有理函数具有相同数目的极点和零内，一个有理函数具有相同数目的极点和零点其数目等于点其数目等于m和和n中较大的一个中较大的一个1.2 网络函数网络函数 例例1.6 考察下列函数的无限传输零点和极点考察下列函数的无限传输零点和极点（（1））H(s)=(5s4+1)/(s2+s+1) 解：该函数在无限远处具有解：该函数在无限远处具有1个二阶极点个二阶极点这是因为这是因为 H(s) |s→∞→5s2. 由于分母的表达式是二次函数，由此可知该由于分母的表达式是二次函数，由此可知该函数还有函数还有2个有限极点；个有限极点； 所以该函数总共有所以该函数总共有4个极点 由于分子的表达式是四次函数，由此可知该由于分子的表达式是四次函数，由此可知该函数还有函数还有4个有限零点；个有限零点； 可见，该函数具有相等的零点数和极点数可见，该函数具有相等的零点数和极点数1.2 网络函数网络函数 例例1.6 考察下列函数的无限传输零点和极点考察下列函数的无限传输零点和极点（（2））H(s)=2/(s3+s2+s+1) 解：该函数在无限远处具有一个三阶零点。
解：该函数在无限远处具有一个三阶零点这是因为这是因为H(s) |s→∞→2/s3. 由于分子是常数，由此可知该函数还有由于分子是常数，由此可知该函数还有0个有个有限零点；限零点； 由于分母的表达式是三次函数，由此可知该由于分母的表达式是三次函数，由此可知该函数还有函数还有3个有限极点；个有限极点； 可见，该函数具有相等的零点数和极点数可见，该函数具有相等的零点数和极点数1.2 网络函数网络函数 例例1.6 考察下列函数的无限传输零点和极点考察下列函数的无限传输零点和极点（（3））H(s)=(s2+1)/(s+1)[(s+1)2+1] 解：由于该函数分母的表达式是三次函数，解：由于该函数分母的表达式是三次函数，由此可知该函数还有由此可知该函数还有3个有限极点它们分别是个有限极点它们分别是s=-1和和 s=-1±j 由于分子是二次函数，由此可知该函数还有由于分子是二次函数，由此可知该函数还有2个有限零点个有限零点s=±1 ；； 由于必须具有相等的零点数和极点数，因此由于必须具有相等的零点数和极点数，因此必须有一个无限远处的零点必须有一个无限远处的零点s=∞ 。
1.2 网络函数网络函数 例例1.7 一个有理函数在一个有理函数在s=±j2 处具有零点处具有零点,极点为极点为s=-1, -2, (-1±j). 归一化因子为归一化因子为2. (1) 求该有理函数求该有理函数; (2) 考察该函数在无限大处的频率特性考察该函数在无限大处的频率特性.解解: (1) 利用已知的零点利用已知的零点, 构造函数的分子多项式构造函数的分子多项式. N(s)=(s-j2)(s+j2)=s2+4 利用已知的极点利用已知的极点, 构造函数的分母多项式构造函数的分母多项式. D(s)=(s+1)(s+2)(s+1-j)(s+1+j) =s4+5s3+10s2+10s+4 XXXXOO1.2 网络函数网络函数 (2) 在上式中在上式中, 令令s→∞, 即即 H(s) |s→∞→2s2/s4=2/s2, 所以它在无穷大处所以它在无穷大处有两个零点有两个零点所求的有理函数为所求的有理函数为XXXXOO1.2 网络函数网络函数 1.2.4 零、零、极点对网络频率特性的影响极点对网络频率特性的影响 如果一个系统有一对位于如果一个系统有一对位于jω轴上的共轭复数零轴上的共轭复数零点点±jω1，如图，如图1.6(a)所示，则该系统转移函数的所示，则该系统转移函数的幅频特性在幅频特性在ω1处为零值即处为零值即|H(jω1)|=0。
如果一个系统有一对位于如果一个系统有一对位于jω轴上的共轭复数极轴上的共轭复数极点点±jω2，如图，如图1.6(a)所示，则该系统转移函数的所示，则该系统转移函数的幅频特性在幅频特性在ω2处为极大值即处为极大值即|H(jω2)|=∞ 1.2 网络函数网络函数 如果一个系统有一对非常靠近如果一个系统有一对非常靠近jω轴的共轭复数轴的共轭复数零点零点s=σ1±jω1，则该系统转移函数的幅频特性在，则该系统转移函数的幅频特性在频率频率ω1处会达到其最小值处会达到其最小值 如果一个系统有一对非常靠近如果一个系统有一对非常靠近jω轴的共轭复数轴的共轭复数极点极点s=σ1±jω2，则该系统转移函数的幅频特性在，则该系统转移函数的幅频特性在频率频率ω2处会达到其最大值处会达到其最大值 1.2 网络函数网络函数 •极点在极点在s平面上的分布和相应的时域函数平面上的分布和相应的时域函数关系如下图所示关系如下图所示1.2.5 网络函数的性质网络函数的性质1.2 网络函数网络函数 相应的时域波形和函数极点在s平面上的分布jβ-jβα×αtttα>0α=0α<0KeαtKKeαtKeαtsin(βt+θ)Ksin(βt+θ)Keαtsin(βt+θ)ttα>0α=0α<0t极点在极点在s平面上的分布和相应的时域函数关系平面上的分布和相应的时域函数关系××极点为实数极点为虚数1.2 网络函数网络函数 根据上图的对应关系可知，对于物理上可根据上图的对应关系可知，对于物理上可实现的电网络，其网络函数必须具有以下性实现的电网络，其网络函数必须具有以下性质：质：（（1）网络函数是）网络函数是s的实系数有理函数；的实系数有理函数；（（2）网络函数在右半）网络函数在右半s平面内不能有极点；平面内不能有极点；（（3）网络函数在虚轴上不能有多重极点。
网络函数在虚轴上不能有多重极点 1.2 网络函数网络函数 根据上面的讨论，对于一个可实现的网络，其 根据上面的讨论，对于一个可实现的网络，其网络函数网络函数H(s)应具有如下的因式分解形式：应具有如下的因式分解形式：在复频域内，具有实数零点和实数极点的转移函在复频域内，具有实数零点和实数极点的转移函数可表示为：数可表示为：1.2 网络函数网络函数 具有复数零点和复数极点的转移函数可表示为：具有复数零点和复数极点的转移函数可表示为：同时具有实数和复数零极点的转移函数可表示为：同时具有实数和复数零极点的转移函数可表示为：1.2 网络函数网络函数 在滤波器设计中，常用到转移函数的幅度平方在滤波器设计中，常用到转移函数的幅度平方函数函数|H(jω)|2幅度平方函数定义为幅度函数幅度平方函数定义为幅度函数H(jω)和它的共轭和它的共轭H(jω)*的乘积，即：的乘积，即： 同时具有实数和复数零极点的转移函数的幅度同时具有实数和复数零极点的转移函数的幅度平方函数为平方函数为1.2 网络函数网络函数 由上式可以看出，幅度平方函数由上式可以看出，幅度平方函数|H(jω)|2是变量是变量ω2的有理函数。
因此，其分子分母随的有理函数因此，其分子分母随ω的变化是的变化是平滑的就是说，物理上可实现的转移函数，其平滑的就是说，物理上可实现的转移函数，其分子多项式和分母多项式对分子多项式和分母多项式对ω的一阶导数是连续的一阶导数是连续平滑的 根据上述讨论，下图实线所示的幅度平方函数根据上述讨论，下图实线所示的幅度平方函数是不可能用有理函数实现的是不可能用有理函数实现的 |H(jω)|2ω/(rad/s)①②③④⑤⑥01.2 网络函数网络函数 直线直线①①具有分段线性特性；具有分段线性特性； 直线直线②②具有分段常数特性；具有分段常数特性； 直线直线③③具有突变特性；具有突变特性； 曲线曲线④④和曲线和曲线⑥⑥虽然都是连续的曲线，但是它虽然都是连续的曲线，但是它们在们在⑤⑤点处的一阶导数是不连续的点处的一阶导数是不连续的 因此，虽然曲线因此，虽然曲线①①、、②②、、④④、、⑥⑥都是可以分别都是可以分别实现的，但是整个曲线是不可能用有理函数实现实现的，但是整个曲线是不可能用有理函数实现的，也是不能用实际电路实现的只能用图中所的，也是不能用实际电路实现的只能用图中所示的虚线去近似该幅度平方函数，即用虚线所代示的虚线去近似该幅度平方函数，即用虚线所代表的有理函数去近似实线所代表的幅频特性。
表的有理函数去近似实线所代表的幅频特性 1.2 网络函数网络函数 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念1.3.1 滤波器的传输特性滤波器的传输特性 滤波器就是一种具有频率选择特性的电路滤波器就是一种具有频率选择特性的电路,其主其主要功能是实现对信号的选频传输要功能是实现对信号的选频传输,处理的结果就是处理的结果就是输出信号输出信号 任何角频率为任何角频率为ω的输入信号的输入信号S(t)，都可以用傅立，都可以用傅立叶级数表示为：叶级数表示为： 当这些信号通过具有频率选择特性的滤波器时，当这些信号通过具有频率选择特性的滤波器时，各次谐波分量的系数各次谐波分量的系数αk、、bk被改变有些分量基被改变有些分量基本上没有被衰减，有些分量被极大地衰减本上没有被衰减，有些分量被极大地衰减 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 滤波器的这种传输关系可以用转移函数滤波器的这种传输关系可以用转移函数H(ω) 来描述即来描述即 转移函数的模转移函数的模|H(jω)|和幅角和幅角Ф(ω)都是频率都是频率ω的的函数。
转移函数的模与频率的关系称为滤波器的函数转移函数的模与频率的关系称为滤波器的幅频特性转移函数的幅角即转移函数的相位与幅频特性转移函数的幅角即转移函数的相位与频率的关系称为滤波器的相频特性频率的关系称为滤波器的相频特性 在一般滤波器中，主要关心的是幅频特性在在一般滤波器中，主要关心的是幅频特性在有些滤波器例如处理图像的滤波器中，除了关心有些滤波器例如处理图像的滤波器中，除了关心幅频特性外，还特别关心其相频特性幅频特性外，还特别关心其相频特性 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念例例1.9 简单的滤波电路如图简单的滤波电路如图1.10所示1）求该滤波器的转移函数；）求该滤波器的转移函数；（（2）绘出该滤波电路在）绘出该滤波电路在情况下的幅频特性曲线情况下的幅频特性曲线|H(ω)|、增益特性曲线、增益特性曲线 G(ω)和衰减特性曲线和衰减特性曲线A(ω)例例1.9的电路的电路 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念解：利用电路的分压关系可以求得滤波器的转移解：利用电路的分压关系可以求得滤波器的转移函数为：函数为： 滤波电路在滤波电路在 情况下的幅频特性曲情况下的幅频特性曲线线|H(ω)|、增益特性、增益特性G(ω)和衰减特性和衰减特性A(ω)如图。
如图 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 可以看出，该滤波器在 可以看出，该滤波器在ω＝＝0处的增益为处的增益为0dB，， 在在 处的增益降为处的增益降为-3dB(0.707倍倍)在信号处理电路中，我们把增益从处理电路中，我们把增益从0dB下降为下降为-3dB所对所对应的信号频带称为通频带，简称为通带应的信号频带称为通频带，简称为通带 也就是说，图 也就是说，图1.11所代表的电路可以使输入信所代表的电路可以使输入信号号vi(ω)中频率低于中频率低于 的信号受到很大的衰减的信号受到很大的衰减或不通过可见，该电路具有滤除频率高于该频或不通过可见，该电路具有滤除频率高于该频率的信号的能力具有这种特性的电路称为低通率的信号的能力具有这种特性的电路称为低通滤波器 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念1.3.2 滤波器性能的描述滤波器性能的描述1. 理想滤波器性能的描述理想滤波器性能的描述 理想滤波器具有允许某特定频率范围的信号理想滤波器具有允许某特定频率范围的信号“通过通过”而而“阻止阻止” 另一特定频率范围信号的功能另一特定频率范围信号的功能。
允许通过的信号频率范围称为滤波器的通带；允许通过的信号频率范围称为滤波器的通带； 受阻止的信号频率范围称为滤波器的阻带；受阻止的信号频率范围称为滤波器的阻带； 通带和阻带的分界频率称为滤波器的截止频率通带和阻带的分界频率称为滤波器的截止频率ωc通带阻带通带阻带((a)增益特性增益特性 (b) 衰减特性衰减特性 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念2. 实际滤波器性能的描述实际滤波器性能的描述 理想滤波器的特性是不可能用实际电路实现理想滤波器的特性是不可能用实际电路实现的，也就是说，是不可能用有限个元件组成的电的，也就是说，是不可能用有限个元件组成的电路实现的必须寻找一种更加实际的方式来描述路实现的必须寻找一种更加实际的方式来描述实际可以实现的滤波器的特性实际可以实现的滤波器的特性 下面从它的通带特性、阻带特性和截止频率下面从它的通带特性、阻带特性和截止频率ωc处的频率特性三个方面进行研究处的频率特性三个方面进行研究 首先研究理想滤波器的通带特性一个理想的 首先研究理想滤波器的通带特性一个理想的滤波器要求在通带范围内的衰减为滤波器要求在通带范围内的衰减为0dB。
这样的这样的要求是不可能用实际的滤波电路实现的实际的要求是不可能用实际的滤波电路实现的实际的电路很难在一定频率范围内提供一个常值的传输电路很难在一定频率范围内提供一个常值的传输幅度这就意味着必须允许滤波器的通带传输有幅度这就意味着必须允许滤波器的通带传输有一定的偏差，才有可能用实际的滤波器实现一定的偏差，才有可能用实际的滤波器实现 在实际滤波器设计时，这个偏差用通带最大衰 在实际滤波器设计时，这个偏差用通带最大衰减减Amax来表示它表示所设计的滤波器通带衰减来表示它表示所设计的滤波器通带衰减偏离理想值偏离理想值0dB的最大允许偏差这就是说，当的最大允许偏差这就是说，当一个滤波器的通带最大衰减一个滤波器的通带最大衰减Amax确定以后，在设确定以后，在设计该滤波器时，只要通带衰减在计该滤波器时，只要通带衰减在0到到Amax之间就可之间就可以满足设计要求了以满足设计要求了1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念Amax0ωp通带阻带过渡带ωsAmin0ωp ωsAminAmaxωl1 ωl2 一个实际的低通滤波器的通带衰减特性如图所一个实际的低通滤波器的通带衰减特性如图所示。
示满足相同的衰减特性的两个不同的衰减函数满足相同的衰减特性的两个不同的衰减函数 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 下面再研究理想滤波器的阻带特性一个理想下面再研究理想滤波器的阻带特性一个理想的滤波器要求在阻带范围内其衰减应为的滤波器要求在阻带范围内其衰减应为∞这也是不可能用实际电路实现的一个实际的电路可是不可能用实际电路实现的一个实际的电路可以在某一频率处使电路的衰减为以在某一频率处使电路的衰减为∞，但是不能在，但是不能在一个频率段内实现无穷大衰减实际滤波器阻带一个频率段内实现无穷大衰减实际滤波器阻带内的衰减只能为有限值内的衰减只能为有限值 在实际滤波器设计时，这个有限值用阻带最小在实际滤波器设计时，这个有限值用阻带最小衰减衰减Amin来表示它表示所设计的滤波器阻带衰来表示它表示所设计的滤波器阻带衰减偏离理想值减偏离理想值∞的最大允许偏差如图所示的最大允许偏差如图所示 这就是说，当一个滤波器的阻带最大衰减这就是说，当一个滤波器的阻带最大衰减Amin确定以后，在设计该滤波器时，只要阻带衰减大确定以后，在设计该滤波器时，只要阻带衰减大于或等于于或等于Amin就可以满足设计要求了。
就可以满足设计要求了 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 一个实际的低通滤波器的阻带衰减特性如图一个实际的低通滤波器的阻带衰减特性如图所示Amax0ωp通带阻带过渡带ωsAmin0ωp ωsAminAmaxωl1 ωl2满足相同的衰减特性的两个不同的衰减函数满足相同的衰减特性的两个不同的衰减函数 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 最后研究理想滤波器的阻带和通带的边界特性最后研究理想滤波器的阻带和通带的边界特性一个实际的滤波器也不可能实现通带和阻带之间一个实际的滤波器也不可能实现通带和阻带之间的突然变化也就是说，通带的边界的突然变化也就是说，通带的边界ωp处不可能处不可能很陡为此，我们在通带和阻带之间引入过渡带，很陡为此，我们在通带和阻带之间引入过渡带， 如上图中如上图中ωp到到ωs中间的一段频率范围中间的一段频率范围 在过渡带内，滤波器的衰减由在过渡带内，滤波器的衰减由Amax逐渐增大到逐渐增大到Amin过渡带越窄，滤波器的选择性越好，但同过渡带越窄，滤波器的选择性越好，但同时滤波器的电路越复杂，成本也越高一般地说，时滤波器的电路越复杂，成本也越高一般地说，在滤波器的在滤波器的ωp和和ωs一定的情况下，一定的情况下，Amax越小、越小、Amin越大，则滤波器的过渡带越窄，滤波器的实越大，则滤波器的过渡带越窄，滤波器的实现电路就越复杂，成本也就越高。
现电路就越复杂，成本也就越高 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 根据上面的讨论，理想的低通滤波器的幅频特根据上面的讨论，理想的低通滤波器的幅频特性和相频特性可以分别用如图性和相频特性可以分别用如图 (a)和图和图 (b)中的粗中的粗实线来描述由图可见在通带内，相频特性是线实线来描述由图可见在通带内，相频特性是线性的在通带外，由于幅度为零，所以讨论相频性的在通带外，由于幅度为零，所以讨论相频特性是没有必要的特性是没有必要的H(jω)|2ω/(rad/s)阻带波动通带阻带通带波动ωc过渡带ωcθ(ω)ω/(rad/s)ωpωs 1.滤波器的分类1.3.3 滤波器的分类滤波器的分类 (1). 按照所处理的信号的类型分按照所处理的信号的类型分 模拟滤波器模拟滤波器:用于处理模拟信号的滤波器称用于处理模拟信号的滤波器称为模拟滤波器；为模拟滤波器； 数字滤波器数字滤波器:用于处理数字信号的滤波器称用于处理数字信号的滤波器称为数字滤波器为数字滤波器 (2) 按照所采用的器件类型分按照所采用的器件类型分 无源滤波器无源滤波器:采用无源器件的模拟滤波器统采用无源器件的模拟滤波器统称为无源滤波器称为无源滤波器; 有源滤波器。
采用有源器件的模拟滤波器统有源滤波器采用有源器件的模拟滤波器统称为有源滤波器称为有源滤波器1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 (3). 按照信号的连续性分按照信号的连续性分: 连续时间滤波器连续时间滤波器 取样数据滤波器取样数据滤波器(4). 按照通带与阻带所处的相对位置分按照通带与阻带所处的相对位置分: 低通滤波器低通滤波器(LP); 高通滤波器高通滤波器(HP); 带通滤波器带通滤波器(BP); 带阻滤波器带阻滤波器(BR); 全通滤波器全通滤波器(AP) 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念1．低通滤波器．低通滤波器 滤波器具有允许某特定频率范围的信号滤波器具有允许某特定频率范围的信号“通通过过”而而“阻止阻止” 另一特定频率范围的信号的功另一特定频率范围的信号的功能 允许通过的信号频率范围称为滤波器的通带允许通过的信号频率范围称为滤波器的通带 受阻止的信号频率范围称为滤波器的阻带受阻止的信号频率范围称为滤波器的阻带 通带和阻带的分界频率称为截止频率。
通带和阻带的分界频率称为截止频率 低通滤波器允许低于指定截止频率的信号顺低通滤波器允许低于指定截止频率的信号顺利通过，而使高频分量受到很大的衰减利通过，而使高频分量受到很大的衰减 低通滤波函数的理想幅频特性如图所示低通滤波函数的理想幅频特性如图所示 ωωH|A|A0理想特性实际特性通带阻带0 横坐标为角频率横坐标为角频率ω，纵坐标为增益，纵坐标为增益A的幅值的幅值|A|A0为为低频增益的幅值低频增益的幅值ωH为截止角频率，习惯上称为截止频为截止角频率，习惯上称为截止频率 由如图可知，该低通滤波器的功能是允许频率为由如图可知，该低通滤波器的功能是允许频率为0 到到频率为频率为ωH的低频信号通过，而使频率大于的低频信号通过，而使频率大于ωH的高频信的高频信号受到完全衰减因此，通频带宽度为号受到完全衰减因此，通频带宽度为BW=ωH1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 •由信号系统理论可知，具有这种理想特性由信号系统理论可知，具有这种理想特性的系统是不可能用实际电路实现的实际的系统是不可能用实际电路实现的实际可实现的特性如图所示可实现的特性如图所示•低通滤波器的应用范围很广，它也是设计低通滤波器的应用范围很广，它也是设计其它各种滤波器的基础。
当它被用在高保其它各种滤波器的基础当它被用在高保真放大器的音调控制电路中时，就可以控真放大器的音调控制电路中时，就可以控制放大器的音调通过改变低通滤波器的制放大器的音调通过改变低通滤波器的截止频率截止频率ωH，就可以调节放大器的高音就可以调节放大器的高音1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念2．高通滤波器．高通滤波器 高通滤波器与低通滤波器相反，它允许高于指高通滤波器与低通滤波器相反，它允许高于指定截止频率的信号顺利通过，而使低频分量受到定截止频率的信号顺利通过，而使低频分量受到很大的衰减很大的衰减 高通滤波函数的理想幅频特性如图所示高通滤波函数的理想幅频特性如图所示A|A00理想特性实际特性通带阻带 ωωL|A|A00理想特性实际特性通带阻带 从原理上讲，高通滤波器的通带应当延伸到频从原理上讲，高通滤波器的通带应当延伸到频率为无穷处，但实际上由于寄生参数的影响以及率为无穷处，但实际上由于寄生参数的影响以及有源器件的有限带宽，当频率增高到一定值时，有源器件的有限带宽，当频率增高到一定值时，幅值将跌落所以，它的通频带也是有限的。
幅值将跌落所以，它的通频带也是有限的1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 A0为高频增益的幅值为高频增益的幅值ωL为截止频率由如图所为截止频率由如图所示的理想幅频特性可知，示的理想幅频特性可知，该高通滤波器的功能是允该高通滤波器的功能是允许频率大于许频率大于ωL的高频信号的高频信号通过，而使频率低于通过，而使频率低于ωL的的低频信号受到完全衰减低频信号受到完全衰减 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念3．带通滤波器．带通滤波器 带通滤波器可以看成低通滤波器和高通滤波器带通滤波器可以看成低通滤波器和高通滤波器性能的组合它允许一个频带内的信号通过，而性能的组合它允许一个频带内的信号通过，而将频带以外的信号进行完全衰减将频带以外的信号进行完全衰减 带通滤波函数的理想幅频特性如图所示带通滤波函数的理想幅频特性如图所示 |A|A0理想特性实际特性通带阻带阻带ωωH0ω0ωL带通滤波器的幅频特性带通滤波器的幅频特性 A0为中频增益的幅值为中频增益的幅值ωL为低边截止频率，为低边截止频率，ωH为高为高边截止频率，边截止频率，ωo为中心频率为中心频率 该高通滤波器的功能是允许频率高于该高通滤波器的功能是允许频率高于ωL而低于而低于ωH的信的信号通过电路，而使频率低于号通过电路，而使频率低于ωL而高于而高于ωH的信号受到很大的信号受到很大的衰减。
的衰减 带通滤波器有两个阻带，通频带宽度为带通滤波器有两个阻带，通频带宽度为BW=ωH-ωL1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 •在通讯设备中，带通滤波器被用来从许在通讯设备中，带通滤波器被用来从许多信号中选出有用的信号而衰减干扰信多信号中选出有用的信号而衰减干扰信号号1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念4．带阻滤波器．带阻滤波器 带阻滤波器与带通滤波器相反，它将一个频带带阻滤波器与带通滤波器相反，它将一个频带内的信号进行完全衰减，而允许频带以外的信号内的信号进行完全衰减，而允许频带以外的信号通过 带阻滤波函数的理想幅频特性如图所示带阻滤波函数的理想幅频特性如图所示 A0ωω00ωHωL|A|理想特性实际特性 A0为低频增益的幅值为低频增益的幅值ωL为低边截止频率，为低边截止频率，ωH为高边为高边截止频率，截止频率，ωo为中心频率为中心频率 可知，该高通滤波器的功能是允许频率高于可知，该高通滤波器的功能是允许频率高于ωL而低于而低于ωH的信号通过电路，而使频率低于的信号通过电路，而使频率低于ωL而高于而高于ωH的信号的信号受到很大的衰减。
它的阻带宽度为受到很大的衰减它的阻带宽度为BW=ωH-ωL 在通讯设备中，带阻滤波器被用来衰减干扰信号在通讯设备中，带阻滤波器被用来衰减干扰信号1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念带通滤波器的幅频特性 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念1.3.4 模拟滤波器的发展模拟滤波器的发展(1).无源滤波器无源滤波器 从从20世纪世纪20年代到年代到60年代，实际应用的滤波器年代，实际应用的滤波器主要是由电阻、电感和电容构成的无源滤波器主要是由电阻、电感和电容构成的无源滤波器2)有源滤波器有源滤波器 50年代，人们已认识到，用电阻、电容和晶体年代，人们已认识到，用电阻、电容和晶体管构成的有源电路也可实现无源网络的频率特性管构成的有源电路也可实现无源网络的频率特性 用有源电路替代电感实现的滤波器称为有源滤用有源电路替代电感实现的滤波器称为有源滤波器 用有源电路和电阻、电容实现的滤波器称为有用有源电路和电阻、电容实现的滤波器称为有源源RC滤波器 有源滤波器可以减小滤波器有源滤波器可以减小滤波器 的体积，降低成本的体积，降低成本 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 60年代中期，高质量集成运算放大器走向商品年代中期，高质量集成运算放大器走向商品化，有源化，有源RC滤波器从而获得了很大的发展。
滤波器从而获得了很大的发展 70年代初期，出现了混合集成有源年代初期，出现了混合集成有源RC滤波器，滤波器，这种滤波器与无源滤波器的尺寸相比已经大大缩这种滤波器与无源滤波器的尺寸相比已经大大缩小，价格也便宜得多，同时滤波器成为可以出售小，价格也便宜得多，同时滤波器成为可以出售的商品3).开关电容滤波器开关电容滤波器 由于集成电路技术难以制作具有精确值的电阻，由于集成电路技术难以制作具有精确值的电阻，而且制造大阻值的电阻需要较大的芯片面积而且制造大阻值的电阻需要较大的芯片面积,使得使得有源有源RC滤波器难以实现全集成化到了滤波器难以实现全集成化到了70年代末，年代末，出现了不需要电阻的开关电容技术出现了不需要电阻的开关电容技术 (4).其它全集成滤波器其它全集成滤波器 80年代以来，滤波器技术飞年代以来，滤波器技术飞 速发展，出现速发展，出现了多种形式的全集成滤波器，代表性的有了多种形式的全集成滤波器，代表性的有: MOSFET—C滤波器滤波器; 跨导电容滤波器跨导电容滤波器; 开关电流滤波器开关电流滤波器; 基于电流传输器的滤波器基于电流传输器的滤波器; 连续时间电流模式滤波器等连续时间电流模式滤波器等。
1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念 目前，全集成滤波器的发展方向是目前，全集成滤波器的发展方向是: 高频高频; 低电压低电压; 低功耗；低功耗； 集成化1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念滤波器的发展方向滤波器的发展方向 1.3 滤波器的基本概念滤波器的基本概念1.3.5 有源滤波器的优缺点有源滤波器的优缺点 优点：优点： (1)尺寸小，重量轻；尺寸小，重量轻； (2)采用集成工艺可以大批量生产，价格低，采用集成工艺可以大批量生产，价格低，可靠性高；可靠性高； (3)可以提供增益；可以提供增益； (4)可以与数字电路集成在同一芯片上可以与数字电路集成在同一芯片上 缺点：缺点： (1)频率范围受有源器件有限带宽的限制；频率范围受有源器件有限带宽的限制； (2)受元件值的容差和漂移的影响较大，即灵受元件值的容差和漂移的影响较大，即灵敏度相对来说比较高敏度相对来说比较高 1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 1.4.1 近似函数的概念近似函数的概念 理想的低通函数的幅度在通带内是一个常数，理想的低通函数的幅度在通带内是一个常数，而在阻带内为零。
相应的相位在通带内是线性而在阻带内为零相应的相位在通带内是线性的 采用实际的集总线性网络是不能实现这样的采用实际的集总线性网络是不能实现这样的特性的 在实际实现时，必须降低理想特性对电路提在实际实现时，必须降低理想特性对电路提出的要求，这就应该允许实际实现的滤波器的出的要求，这就应该允许实际实现的滤波器的幅度和相位特性在通带和阻带内有一定的误差幅度和相位特性在通带和阻带内有一定的误差这就要求寻找用一个实际的函数去近似或逼近这就要求寻找用一个实际的函数去近似或逼近理想函数这就是所谓函数的近似或函数的逼理想函数这就是所谓函数的近似或函数的逼近问题1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 本章重点研究低通滤波函数的逼近问题本章重点研究低通滤波函数的逼近问题 其它的滤波函数则可以由低通滤波函数通过其它的滤波函数则可以由低通滤波函数通过适当的变换得到适当的变换得到 常用的近似函数有：常用的近似函数有： 最大平坦特性的巴特沃斯最大平坦特性的巴特沃斯(Butterworth)函数函数 等波动特性的切比雪夫等波动特性的切比雪夫(Chebyshev)函数函数 最大线性相位特性的贝塞尔最大线性相位特性的贝塞尔(Bessel)函数等。
函数等1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 1.4.2最平幅度近似最平幅度近似(Butterworth近似近似)1 Butterworth函数函数 该近似函数在通近似函数在通带的最低端的最低端ω＝＝0处由于由于|H(0)|2=1,与理想低通幅度平方函数符合最好，但与理想低通幅度平方函数符合最好，但在通在通带的最高端却与理想特性有的最高端却与理想特性有较大的偏离在大的偏离在ω=1处，与理想特性的偏离最大，其，与理想特性的偏离最大，其值为10log(1+ε2)dB1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 Butterworth近似函数的幅度特性近似函数的幅度特性0.20.61.01.41.81.00.7n=2n=4n=10n=2n=10(a)1ω/ωc|H(jω)|21上边界下边界通带波动211e+1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 Butterworth近似函数的近似函数的阶次次n越高，在通越高，在通带内内特性曲特性曲线越接近于越接近于单位位1，在截止，在截止频率率处的斜率越的斜率越陡，在高陡，在高频处的衰减越大的衰减越大 一般情况下，式（一般情况下，式（10-11）中取）中取ε=1。
这时，近，近似函数在似函数在ω=1处与理想特性的最大偏离与理想特性的最大偏离为3dB当ε=1时，，Butterworth最平幅度近似函数最平幅度近似函数变为 对应的的s 域表达式域表达式为 式中，式中，H(s)*为H(s)的共的共轭复数 1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 0.20.61.01.41.80-3n=2n=4n=10n=2n=10(a)0-3n=2n=100.21.001.01.8n=2n=10-100-202 Butterworth函数的幅度特性函数的幅度特性 1-10阶Butterworth近似函数的幅度特性如近似函数的幅度特性如图所所示为了看了看图方便，常将方便，常将图(a)的通的通带部分和阻部分和阻带部分分开画，如部分分开画，如图 (b) 所示b)1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 3 Butterworth滤波器波器阶数的确定数的确定 由由Butterworth函数的定函数的定义可知可知相相应的衰减函数的衰减函数为衰减函数用分衰减函数用分贝的形式表示的形式表示为 1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 由上式可得由上式可得 对上式取上式取对数得数得 从而求得从而求得 如果已知某如果已知某频率率ω处用用dB表示的衰减表示的衰减值A(dB), 则可以根据上式可求得能可以根据上式可求得能够满足足该要求的要求的滤波器波器的的阶数数n。
即即 1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 例例1.10 已知某已知某Butterworth滤波器在波器在ω=2rad/s处要求至要求至少具有少具有40dB的衰减，求的衰减，求该滤波器的波器的阶数 解解:根据公式可求得能根据公式可求得能够满足足该要求的要求的滤波器的波器的阶数数为由于由于n只能只能为整数，故需要整数，故需要7阶滤波器1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 4 Butterworth滤波函数的确定波函数的确定 (1) 归一化一化Butterworth滤波函数的确定波函数的确定 下面研究如何确定下面研究如何确定归一化一化Butterworth滤波函数波函数的的问题所谓归一化一化滤波器是指截止波器是指截止频率率ωC=1，，波波动因子因子εε=1（通（通带波波动为 3dB）的）的滤波器由式（由式（10-13）定）定义的的Butterworth滤波函数波函数H(s)，它的分母是一个多，它的分母是一个多项式，称式，称为Butterworth多多项式式D(s)即1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 Butterworth滤波函数的极点可根据下式求出：滤波函数的极点可根据下式求出：1+[(-1)ns2n]=0 (ε=1) 这些极点位于些极点位于 由式（由式（10-17）可以看出，）可以看出，这些极点位于些极点位于单位位圆上上(s=1)，以，以π/n弧度等角度排列。
利用弧度等角度排列利用这些极点，可以确定些极点，可以确定Butterworth多多项式，从而确式，从而确定定Butterworth函数1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 例例1.11 求二求二阶Butterworth低通函数的极点、相低通函数的极点、相应的的Butterworth多多项式和式和Butterworth滤波函数 解解:根据式（根据式（10-17）可以求得二）可以求得二阶Butterworth函数的极点函数的极点为1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 根据所求得的极点，可以得到相根据所求得的极点，可以得到相应的的Butterworth多多项式式为 多多项式的系数式的系数为 b0=1.0000, b1=1.4142, b2=1.0000相相应的的Butterworth滤波函数波函数为 从从1到到6阶归一化一化Butterworth滤波器的分母多波器的分母多项式的系数如表式的系数如表10-1所示1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 N b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 1 1.000 0002 1.000 000 1.414 213 3 1.000 000 2.000 000 2.000 0004 1.000 000 2.613 125 3.414 213 2.613 1255 1.000 000 3.236 067 5.235 067 5.236 067 3.236 0676 1.000 000 3.863 703 7.464 101 9.141 620 7.464 101 3.863 703N D(s)1234561.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 (2) 截止频率为截止频率为ωC、通带波动为、通带波动为[10log(1+ε2)]dB的的Butterworth滤波函数的确定滤波函数的确定 为了将通带波动从为了将通带波动从3dB变化为变化为[10log(1+ε2)]dB，需要将上面得到的归一化，需要将上面得到的归一化Butterworth滤波滤波函数中的函数中的s用用ε1/ns代替。
代替 为了将截止频率从为了将截止频率从1变化为变化为ωC，需要将上面得，需要将上面得到的归一化到的归一化Butterworth滤波函数中的滤波函数中的s用用s/ωC代代替 1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 如果要将通带波动从如果要将通带波动从3dB变化为变化为[10log(1+ε2)]dB，同时将截止频率从，同时将截止频率从1变化为变化为ωC，，则需要将上面得到的归一化则需要将上面得到的归一化Butterworth滤波函滤波函数中的数中的s用用ε1/n（（s/ωC）代替 如果将表如果将表10-1中的中的s用用ε1/n（（s/ωC）代替，就）代替，就会得到通带波动为会得到通带波动为[10log(1+ε2)]dB、截止频、截止频率为率为ωC的的Butterworth滤波器1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 例例1.12 已知一个已知一个4阶Butterworth低通低通滤波器的截波器的截止止频率率为ωC，通，通带波波动为1dB求Butterworth低低通通滤函数的表达式和极点函数的表达式和极点 解解:（（a）求）求归一化参数一化参数 查表可已知表可已知4阶归一化的一化的Butterworth滤波器波器（（ωC=1，，ε=1）分母多）分母多项式的系数式的系数为 b0=1.0000, b1=2. 6131, b2=3.4142, b3=2. 6131 相相应的的Butterworth滤波函数波函数为 1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 它的极点它的极点为 p1,2=-0.3827±j0.9239 p3,4=-0.9239±j0.3827（（b）求截止）求截止频率率为ωC、波、波动为1dB的的滤波器的波器的参数参数 波波动为1dB时的的εε为: : 为了将通带波动从为了将通带波动从3dB变化为变化为1dB（（ε=0.5089），将截止频率从），将截止频率从1变化为变化为ωC，，需要将上面得到的归一化需要将上面得到的归一化Butterworth滤波函数滤波函数中的中的s用用ε1/n（（s/ωC）代替。
即）代替即1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 将上式中的将上式中的s用用ε1/n（（s/ωC））=0.8445s/ωC代替代替, 得得截止截止频率率为ωC、波、波动为1dB的的滤波函数波函数为极点极点为1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 5 Butterworth低通函数的特性低通函数的特性Butterworth低通函数具有如下特性：低通函数具有如下特性：（（1））对任一任一阶数数n，有，有 （（2）） 是是ω的的单调函数，函数，ω=0处的的值最大；最大；（（3））n阶函数在函数在ω=0处的前的前(2n-1)阶导数数为零，零，故故|H(jω)|具有最大平直特性，称具有最大平直特性，称Butterworth函数函数为最大平直近似函数或最平幅度近似函数最大平直近似函数或最平幅度近似函数1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 1 Chebyshev(切比雪夫切比雪夫)多多项式式 若令若令 则幅度平方函数幅度平方函数为 多项式多项式 必必须是是ω2的函数它在的函数它在滤波器的通波器的通带 (ω<ωc) 内具有等波内具有等波动的特性，而在通的特性，而在通带外具有外具有单调衰减的特性。
切比雪夫（衰减的特性切比雪夫（Chebyshev）多）多项式就具有式就具有这样的性的性质它的表示式它的表示式为：：1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近1.4.3 等波纹近似等波纹近似(Chebyshev近似近似) Chebyshev近似近似1ω|H(jω)|21上边界下边界通带波动所有近似函数都通过这点1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 在在通带通带 (ω<ωc＝＝1) 内使用式（内使用式（a））,而在通带外使用而在通带外使用式（式（b） 切比雪夫多切比雪夫多项式的式的递归表示式：表示式： 设以切比雪夫多以切比雪夫多项式作式作为分母的低通函数的分母的低通函数的表达式表达式为则各系数如下表所示各系数如下表所示1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 归一化0.5dB波动Chebyshev低通滤波器的分母多项式和极点位置 的系数nb0b1b2b3b4b5b6b7b812.862 77521.516 2031.425 62530.715 6941.534 8951.252 91340.379 0511.025 4551.716 8661.197 38650.178 9230.752 5181.309 5751.937 3671.172 49160.094 7630.432 3671.171 8611.589 7642.171 8451.159 17670.044 7310.282 0720.755 651 1.647 9031.869 4082.412 6511.151 21880.023 6910.152 5440.573 5601.148 5892.184 0152.149 2172.656 7501.146 08090.011 1820.094 1200.340 8190.983 6201.611 3882.781 4992.429 3302.902 7341.142 571分母多项式1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 n分母多项式D(s)的因式1(s+2.862 775)2(s2+1.425 625s+1.516 203)3(s2+0.626 456s+1.142 448)(s+0.626 456)4(s2+0.350 706s+1.063 519)(s2+0.846 680s+0.356 412) 5(s2+0.223 926s+1.035 784)(s2+0.586 245s+0.476 767)(s+0.362 320) 6(s2+0.155 300s+1.023 023)(s2+0.424 288s+0.590 010) (s2+0.579 588s+0.156 997) 7(s2+0.114 006s+0.016 108)(s2+0.319 439s+0.676 884) (s2+0.461 602s+0.253 878) (s+0.256 170) 8(s2+0.087 240s+1.011 932)(s2+0.248 439s+0.741 334) (s2+0.371 815s+0.358 650) (s2+0.438 586s+0.088 052)9(s2+0.068 905s+1.009 211)(s2+0.198 405s+0.789 365) (s2+0.303 975s+0.452 541) (s2+0.372 880s+0.156 342) (s+0.198 405)1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 n极点位置1-2.8632-0.513±j0.7233-0.268±j0.875, -0.5374-0.387±j0.385, -0.161±j0.9305-0.277±j0.590, -0.106±j0.955, -0.3426-0.278±j0.260, -0.204±j0.709, -0.075±j0.9697-0.224±j0.435, -0.155±j0.784, -0.055±j0.977, -0.2498-0.214±j0.196, -0.182±j0.557, -0.121±j0.833, -0.043±j0.9829-0.183±j0.343, -0.149±j0.644, -0.097±j0.867, -0.034±j0.986, -0.1951.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 2 Chebyshev滤波器波器阶数的确定数的确定设Chebyshev滤波器波波器波动的的dB值为δ，，则即即 设给定定ω处的衰减的衰减为A(dB), 可求得可求得 阻带衰减通带波动1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 3 Butterworth和和Chebyshev近似的比近似的比较 与与Butterworth近似相比近似相比较，，Chebyshev近似在近似在截止截止频率率处具有更陡的斜率。
四具有更陡的斜率四阶Chebyshev和和四四阶Butterworth滤波器的幅波器的幅频特性的比特性的比较如如图所示1.00.70.11.02.03.0ButterworthChebyshevω|H(jω)|1.4 滤波函数的逼近滤波函数的逼近 1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 前面已 前面已经研究了低通研究了低通滤波函数的波函数的实现 本本节研究如何通研究如何通过低通低通滤波函数波函数转换的方法的方法实现高通高通滤波函数和其它波函数和其它滤波函数 利用利用转换的方法的方法实现其它各种函数，有助于我其它各种函数，有助于我们利用低通函数的大量知利用低通函数的大量知识去研究其它函数去研究其它函数1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 1.5.1 将低通函数转换为高通函数将低通函数转换为高通函数（（1）转换条件）转换条件 设低通滤波函数的复频率为设低通滤波函数的复频率为p，变换以后的复频，变换以后的复频率为率为s将低通滤波函数的复频率将低通滤波函数的复频率p换为换为1/s，则新，则新的以的以s为变量的函数就被转换为高通函数，且截止为变量的函数就被转换为高通函数，且截止频率仍然为频率仍然为1rad/s。
即低通到高通的转换条件为：即低通到高通的转换条件为：1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 对于无源滤波器，这种变换对于无源滤波器，这种变换相当于将电容换成电感，将电感换成电容（因相当于将电容换成电感，将电感换成电容（因为感抗和容抗互为倒数）为感抗和容抗互为倒数） 变换关系如图所示变换关系如图所示原电容值为C)(转换后的电感值为1/C)(原电感值为L)(转换后的电容值为1/L)1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 (原电容值为C)(转换后的电感值为1/C)(原电感值为L)(转换后的电容值为1/L) 通过低通到高通的转换，产生下列结果：通过低通到高通的转换，产生下列结果：(1)将原来的低通滤波器转换为一个高通滤波器；将原来的低通滤波器转换为一个高通滤波器；(2)将原来的容量为将原来的容量为C的电容转换为电感量为的电容转换为电感量为1/C的电感；的电感；(3)将原来的电感量为将原来的电感量为L的电感转换为电容量为的电感转换为电容量为1/L的电容1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 例例10－－4 已知三已知三阶Butterworth低通低通滤波函数波函数为 求相求相应的高通的高通滤波函数。
波函数解：相解：相应的高通的高通滤波函数可以通波函数可以通过低通函数到低通函数到高通函数的高通函数的转换将低通将低通滤波函数的复波函数的复频率率p换为1/s而得到：而得到： 1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 1.5.2 将低通函数将低通函数转换为带通函数通函数（（1））变换条件条件设低通低通滤波函数的复波函数的复频率率为p，，变换以后的复以后的复频率率为s将低通滤波函数的复波函数的复频率率p换为则新的以新的以s为变量的函数就被量的函数就被变换为带通函数即低通到即低通到带通的通的变换条件条件为：： 其中，其中，ω0为中心中心频率，率，ωBW为带宽频率，率，Q=ω0/ωBW为品品质因数，因数，sn=s/ω0为归一化复一化复频率1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 对于无源于无源滤波器，波器，这种种变换相当于将相当于将电容容换成成电感与感与电容的并容的并联电路，将路，将电感感换成成电感与感与电容容的串的串联电路这种元件的种元件的变换关系如关系如图所示低通到低通到带通通电路元件的路元件的变换1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 1.5.3 将低通函数将低通函数转换为带阻函数阻函数（（1））变换条件条件设低通低通滤波函数的复波函数的复频率率为p，，变换以后的复以后的复频率率为s。
将低通将低通滤波函数的复波函数的复频率率p换为则新的以新的以s为变量的函数就被量的函数就被变换为带通函通函数即低通到数即低通到带通的通的变换条件条件为：： 其中，其中，ω0为中心中心频率，率，ωBW为带宽频率，率，Q=ω0/ωBW为品品质因数，因数，sn=s/ω0为归一化复一化复频率1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 对于无源于无源滤波器，波器，这种种变换相当于将相当于将电容容换成成电感与感与电容的串容的串联电路，将路，将电感感换成成电感与感与电容容的并的并联电路这种元件的种元件的变换关系如关系如图所示低通到低通到带阻阻电路元件的路元件的变换1.5 滤波函数的转换滤波函数的转换 1.6 灵敏度灵敏度 1.6 灵敏度灵敏度 1.6.1 灵敏度的概念灵敏度的概念 1 讨论灵敏度的目的讨论灵敏度的目的 对于同一个网络函数，可以用多个电路实现对于同一个网络函数，可以用多个电路实现为了评价这些电路对于元件变化的敏感程度，引为了评价这些电路对于元件变化的敏感程度，引入灵敏度的概念入灵敏度的概念 对于同一个网络函数，可以用多个电路实现对于同一个网络函数，可以用多个电路实现。
如果采用的元件是理想的，则各种实现电路之间如果采用的元件是理想的，则各种实现电路之间的差别不大但是当我们采用实际元件构成电路的差别不大但是当我们采用实际元件构成电路时，由于元件固有的制造容差以及元件参数变化时，由于元件固有的制造容差以及元件参数变化等，都会使电路性能与设计值有偏差而且这种等，都会使电路性能与设计值有偏差而且这种偏差随电路灵敏度的不同而有很大的不同偏差随电路灵敏度的不同而有很大的不同 1.6 灵敏度灵敏度 解决这种问题的方法有两种：解决这种问题的方法有两种： 一是选择较好的元件这就需要选用制造容差一是选择较好的元件这就需要选用制造容差较小的元件，同时选用温度系数、老化系数和湿较小的元件，同时选用温度系数、老化系数和湿度系数比较低的元件这种方法回使电路的成本度系数比较低的元件这种方法回使电路的成本过高 另一种方法是选择对元件变化灵敏度较低的电另一种方法是选择对元件变化灵敏度较低的电路电路的灵敏度越低，由元件值变化引起的电路电路的灵敏度越低，由元件值变化引起的电路性能的变化就越低，对元件的精度要求就越低，路性能的变化就越低，对元件的精度要求就越低，电路的造价就越低。
因此，这是一种比较实际的电路的造价就越低因此，这是一种比较实际的解决方法解决方法 1.6 灵敏度灵敏度 2 2 灵敏度的定灵敏度的定义电路某一性能参数的相路某一性能参数的相对变化量与元件参数的化量与元件参数的相相对变化量之比，定化量之比，定义为该参数参数对于于该元件的灵敏元件的灵敏度灵敏度用符号灵敏度用符号S S表示电路参数路参数y y对元件参数元件参数x x的的灵敏度定灵敏度定义为：： 上式定上式定义的灵敏度反映了元件参数的相的灵敏度反映了元件参数的相对变化化量量对电路性能参数相路性能参数相对变化量的影响化量的影响 1.6 灵敏度灵敏度 1.6.2 1.6.2 灵敏度的性灵敏度的性质及及计算公式算公式 1.6 灵敏度灵敏度 IinRCLVo+例例1.161.16 无源网无源网络如如图所示它的所示它的转移函数移函数为试计算算K K、、ωωp p和和Q Qp p对无源元件的灵敏度无源元件的灵敏度 1.6 灵敏度灵敏度 解：由解：由题意得意得可得该双二次函数的参数为可得该双二次函数的参数为 1.6 灵敏度灵敏度 由灵敏度的计算公式得由灵敏度的计算公式得:(1)K对无源元件的灵敏度对无源元件的灵敏度为为(2)ωp对无源元件的灵敏度对无源元件的灵敏度为为K对其它无源元件对其它无源元件R和和L的灵敏度为零的灵敏度为零ωp对无源元件对无源元件R的的灵敏度为零灵敏度为零 1.6 灵敏度灵敏度 (3) Q对无源元件的灵敏度为对无源元件的灵敏度为 1.6 灵敏度灵敏度 K、、ωp、、Q对无源元件的灵敏度为对无源元件的灵敏度为 1.6 灵敏度灵敏度 （4 4）小）小结（（a a）无源网）无源网络的的K K、、ωωp p和和Q Qp p对无源元件的灵敏无源元件的灵敏度都小于或等于度都小于或等于1 1。
灵敏度等于灵敏度等于1 1意味着元件意味着元件1%1%的的变化将引起化将引起电路路性能参数性能参数1%1%的的变化这样的灵敏度的灵敏度值认为是低灵是低灵敏度一般的梯形网敏度一般的梯形网络总能能设计成低灵敏度的成低灵敏度的b b）本例中，所求灵敏度的）本例中，所求灵敏度的值就等于函数表达就等于函数表达式中式中该元件的元件的幂指数例如，极点指数例如，极点Q Qp p的表达式的表达式为 1.6 灵敏度灵敏度 则其灵敏度其灵敏度为一般地一般地说，如果参数，如果参数p p具有如下形式具有如下形式则p p对x x1 1、、x x2 2、、x x3 3的灵敏度分的灵敏度分别为 1.6 灵敏度灵敏度 当一个元件参数当一个元件参数变化量化量ΔxΔx很小很小时，用灵敏度，用灵敏度可以近似估算可以近似估算电路性能参数的路性能参数的变化量化量ΔyΔy：： 例如，在例例如，在例1.161.16中，因中，因电阻阻R R的的变化而引起化而引起的极点的极点Q Q值的的变化化ΔQΔQp p为：：1.6.3 用灵敏度估算电路性能参数的变化量用灵敏度估算电路性能参数的变化量 1.6 灵敏度灵敏度 （（2 2）多个元件参数）多个元件参数变化引起的化引起的电路性能参数的路性能参数的变化量化量一般来一般来说，我，我们最感最感兴趣的是由于趣的是由于电路中所有路中所有元件同元件同时变化所引起的化所引起的电路性能参数的路性能参数的变化量。
化量当元件参数当元件参数变化量化量ΔxΔxj j很小很小时，一个元件参数，一个元件参数x x单独独变化引起的化引起的电路性能参数路性能参数y y的的变化量化量为: : 当元件参数变化量当元件参数变化量Δxj很小时，很小时，m个元件个元件参参数同时变化引起的电路性能参数数同时变化引起的电路性能参数y的变化量为的变化量为: 1.6 灵敏度灵敏度 电阻阻R R、、电感感L L、、电容容C C同同时变化而引起的极点化而引起的极点Q Q值的的变化化ΔQΔQp p为：：例如，在例例如，在例1.16中，电阻中，电阻R、电感、电感L、电容、电容C单单独变化分别引起的极点独变化分别引起的极点Q值的变化值的变化ΔQp为为：： 1.6 灵敏度灵敏度 1.6 灵敏度灵敏度 若若R=1,L=1,C=1,且各元件分别变化且各元件分别变化1%, 2%, 3%, 则由电阻则由电阻R、电感、电感L、电容、电容C同时变化所引同时变化所引起的极点起的极点Q值的变化值的变化ΔQp为为：： 1.6 灵敏度灵敏度 1.7 网络的归一化网络的归一化1.7 网络的归一化 网络的归一化 1.7 网络的归一化网络的归一化在用于信号处理的电路中，实际的电路元件值在用于信号处理的电路中，实际的电路元件值常常是很分散的。
例如，实际的电容元件值的范常常是很分散的例如，实际的电容元件值的范围大约在围大约在0～～10-12 F之间，电阻元件值的范围大约之间，电阻元件值的范围大约在在0～～107 Ω之间，电感元件值的范围大约在之间，电感元件值的范围大约在10～～10-6 H之间同时，由于各种电路的应用场合不之间同时，由于各种电路的应用场合不一样，实际所设计的电路的工作频率范围也可能一样，实际所设计的电路的工作频率范围也可能在在0～～109Hz之间因此，很难对如此众多电路的之间因此，很难对如此众多电路的性能进行统一的比较并采用统一的方法进行设计性能进行统一的比较并采用统一的方法进行设计 根据电路基本理论可知，一个网络的网络函数根据电路基本理论可知，一个网络的网络函数以及网络的分析与综合步骤与该网络函数中元件以及网络的分析与综合步骤与该网络函数中元件值的绝对大小无关，将网络中各阻抗值同乘以或值的绝对大小无关，将网络中各阻抗值同乘以或同除以某一常数，该网络的网络函数不变同除以某一常数，该网络的网络函数不变 根据这一理论，可以对所有的网络进行所谓归根据这一理论，可以对所有的网络进行所谓归一化的处理，以便对各种网络的特性进行统一的一化的处理，以便对各种网络的特性进行统一的比较，同时也才有可能制定出可供设计使用的统比较，同时也才有可能制定出可供设计使用的统一的图表，以简化设计。
一的图表，以简化设计 对网络归一化处理主要包括频率归一化和阻抗对网络归一化处理主要包括频率归一化和阻抗归一化网络归一化也称为网络的定标我们在归一化网络归一化也称为网络的定标我们在讨论网络转移函数时，已经多次用到了频率归一讨论网络转移函数时，已经多次用到了频率归一化和阻抗归一化的问题现在集中归纳如下：化和阻抗归一化的问题现在集中归纳如下：1.7 网络的归一化网络的归一化 1.7 网络的归一化网络的归一化１频率归一化１频率归一化 所谓频率归一化，就是在设计滤波器时，首先 所谓频率归一化，就是在设计滤波器时，首先将滤波器的截止频率（高通或低通滤波器）或中将滤波器的截止频率（高通或低通滤波器）或中心频率（带通或带阻滤波器）设计为心频率（带通或带阻滤波器）设计为1rad/s，并，并以此为条件完成对滤波器的设计为了使所设计以此为条件完成对滤波器的设计为了使所设计的滤波器的频率满足实际所要求的频率的滤波器的频率满足实际所要求的频率ωc，还需，还需要对所设计的滤波器再进行频率去归一化也就要对所设计的滤波器再进行频率去归一化也就是将所设计的截止频率为是将所设计的截止频率为1rad/s的滤波器转换成的滤波器转换成实际频率为实际频率为ωc的滤波器。
的滤波器 1.7 网络的归一化网络的归一化 频率归一化也称为频率定标从频率特性的频率归一化也称为频率定标从频率特性的角度来看，频率归一化和去归一化实际上就是角度来看，频率归一化和去归一化实际上就是把滤波器的频率特性在频率轴上进行位置的移把滤波器的频率特性在频率轴上进行位置的移动对所有的网络进行频率归一化的处理，可动对所有的网络进行频率归一化的处理，可以使我们能够很方便地对各种网络的频率特性以使我们能够很方便地对各种网络的频率特性进行统一的比较，同时也才有可能制定出供设进行统一的比较，同时也才有可能制定出供设计使用的统一的图表计使用的统一的图表 1.7 网络的归一化网络的归一化２ 阻抗归一化阻抗归一化 所谓阻抗归一化，就是在设计滤波器时，首先所谓阻抗归一化，就是在设计滤波器时，首先将信号源的阻抗将信号源的阻抗Rs和网络的负载阻抗和网络的负载阻抗RL设计为设计为1Ω，并以此为条件完成对滤波器的设计为了，并以此为条件完成对滤波器的设计为了使所设计的滤波器的阻抗达到实际所要求的阻抗使所设计的滤波器的阻抗达到实际所要求的阻抗值值R0，还需要对所设计的滤波器再进行阻抗去归，还需要对所设计的滤波器再进行阻抗去归一化。
也就是将所设计的阻抗为一化也就是将所设计的阻抗为1Ω的滤波器转的滤波器转换成实际阻抗为换成实际阻抗为R0Ω的滤波器阻抗归一化也称的滤波器阻抗归一化也称为阻抗定标为阻抗定标 1.7 网络的归一化网络的归一化 从网络转移函数的角度来看，阻抗归一化从网络转移函数的角度来看，阻抗归一化和去归一化实际上就是把网络转移函数中的和去归一化实际上就是把网络转移函数中的各阻抗值同乘以或同除以某一常数各阻抗值同乘以或同除以某一常数R0，从而，从而保持网络的转移函数不变对所有的网络进保持网络的转移函数不变对所有的网络进行阻抗归一化的处理，除了可以使我们能够行阻抗归一化的处理，除了可以使我们能够很方便地对各种网络的特性进行统一的比较、很方便地对各种网络的特性进行统一的比较、同时也才有可能制定出供设计使用的统一的同时也才有可能制定出供设计使用的统一的图表以外，还有一个非常主要的方面，就是图表以外，还有一个非常主要的方面，就是能够使所设计的网络元件更加实际，便于实能够使所设计的网络元件更加实际，便于实现 1.7 网络的归一化网络的归一化 在以后的设计中，我们往往都是用统一的图在以后的设计中，我们往往都是用统一的图表对电路进行设计。
设计出的电路一般都是已表对电路进行设计设计出的电路一般都是已经进行了归一化处理的电路，称为归一化电路经进行了归一化处理的电路，称为归一化电路归一化电路是将电路的截止频率按归一化频率归一化电路是将电路的截止频率按归一化频率Ω＝＝ω/ωC=1、将电路中的电阻归一化为、将电路中的电阻归一化为1Ω进行进行设计的而实际电路的工作频率往往不会是设计的而实际电路的工作频率往往不会是Ω而是实际频率而是实际频率ωC、电路中的电阻不是、电路中的电阻不是1Ω而是而是R0Ω，这时候就需要对设计好的归一化电路进，这时候就需要对设计好的归一化电路进行去归一化处理我们以后所遇到的问题往往行去归一化处理我们以后所遇到的问题往往是去归一化处理的问题，而不是归一化处理的是去归一化处理的问题，而不是归一化处理的问题 1.7 网络的归一化网络的归一化３ 去归一化３ 去归一化 去归一化处理是归一化处理的逆过程如果要去归一化处理是归一化处理的逆过程如果要对网络进行阻抗去归一化处理，也就是如果要将对网络进行阻抗去归一化处理，也就是如果要将电路中的电阻增大电路中的电阻增大R0倍，即将阻值为倍，即将阻值为1Ω的电阻改的电阻改变为变为R0Ω，为了保持电路的转移函数不变，则电，为了保持电路的转移函数不变，则电路中的电感要增大路中的电感要增大R0倍，电容要减小倍，电容要减小R0倍。
倍 对网络进行阻抗去归一化处理实际上是将原滤 对网络进行阻抗去归一化处理实际上是将原滤波函数中的所有阻抗扩大波函数中的所有阻抗扩大R0倍 去归一化处理后网络中电阻 去归一化处理后网络中电阻R、电感、电感L和电容和电容C的值与原归一化电路的元件值的值与原归一化电路的元件值R*、、L*、、C*的关系的关系为：为： 。