数学物理方程 16学时,航空学院 侯兵 TEL：15829677085 EMAIL：houbing@,,第1讲 引言波动方程的导出定解条件,引言, 数学与物理的关系,数理不分家, 数学物理方程：,数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)，它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系例如连续介质力学、声学、流体力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象用数学方程来描述一定的物理现象,数学物理方程发展历史简介,偏微分方程诞生于18世纪，19、20世纪是其迅速发展时期：,17世纪微积分产生后，人们开始把力学中的一些问题和规律归结为偏微分方程进行研究1747年，法国数学家、物理学家达朗贝尔将弦振动问题归结为如下形式的偏微分方程并探讨了其求解的行波法：,弦振动方程,1752年欧拉在论文中首先出现位势方程，后来因为拉普拉斯(Laplace)的出色工作，称为Laplace方程：,Laplace方程,19世纪进一步打开偏微分方程研究局面的第一人是傅立叶(Fourier)，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定物体内部各点的温度如何随时间变化。
Fourier对这种热流动问题颇感兴趣，1807年向巴黎科学院提交用数学研究热传导的论文并创立了分离变量法：,热传导方程,课 程 概 览,二、热传导方程（抛物型） 三、调和方程（椭圆型）,一、波动方程（双曲型）,1. 方程导出、定解条件 2. 初值问题求解 3. 初边值问题求解,四、二阶方程的分类总结,1. 方程的分类 2. 特征理论 3. 方程的比较,,,,16学时,第1讲,第2讲,第3讲,第4讲,第5讲,第6讲,第7讲,第8讲,§1.1 弦振动方程的导出,§1 方程的导出、定解条件,§1.2 定解条件,§1.3 定解问题适定性概念,第1章 波动方程,物理背景：波的传播和弹性体振动§1.1 弦振动方程的导出首先，考察弦横振动这个物理问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化假设，以便抓住问题的最本质特征§1.1 弦振动方程的导出,基本假设： 1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略 弦可以视为一条曲线，线密度为常数 （细弦） 2. 弦在某一个平面内作微小横振动。
弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动 （微幅） 3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形与张力的关系服从虎克定律 （横振动） 基本规律：牛顿第二定律（冲量定律）,用u(x, t)表示弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移由基本假设2可知，,与1相比可以忽略不计，所以,因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关,T(x,t),,T(x),（2）由假设2，弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，同时由假设3，张力沿弦的切线方向，所以：,由基本假设2可知，,，所以,因此，弦的张力大小与空间变量x无关 ，可以把弦线的张力T(x)在x轴方向的分量看成常数Ｔ1）任取一弦段(x, x+Δx)，它的弧长为,（3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直方向上的合力为：,在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：,（4）另一方面，在在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：,（5）因此，根据冲量定理，得到：,从而有,进一步由Δt， Δx 的任意性，有,假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦段(x, x+Δx)上的外力为：,它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：,于是有：,进一步由Δt， Δx 的任意性，有下面的弦振动方程,,,——不受外力作用的弦振动方程,——外力作用下弦振动方程（一维波动方程）,二维波动方程（如薄膜振动）,三维波动方程（如电磁波、声波的传播）,简化假设：,假设2：微小横振动，张力与水平方向的夹角很小。
假设3：弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向牛顿运动定律：,横向：,纵向：,其中：,,,,,,,其中：,,其中：,,,,,………一维波动方程,令：,,------非齐次方程,自由项,------齐次方程,忽略重力作用：,一维波动方程不仅可以描述弦的横振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播 ………等等因此，一个方程反映的不止是一个物理现象，而是一类问题列出微分方程的目的是要从微分方程中求得具体问题的解或者研究解的性质前面我们看到，弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的一般性规律仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件例如: 在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即u(0, t)=0 ， u(l, t)=0， 这两个等式称为边界条件此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为,这两个等式称为初始条件边界条件和初始条件总称为定解条件把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
§1.2 定解条件,对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：,要在区域,上（见右上图）求上述定解问题的解，就是,要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域00中满足波动方程(1.19)；在x轴上的区间[0,l]上满足初始条件(1.20)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件(1.21)和 (1.22)一般称形如(1.21)和(1.22)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷（Dirichlet）边界条件§1.2 定解条件,波动方程的初始条件,初始条件——描述系统的初始状态,系统各点的初位移 系统各点的初速度,§1.2 定解条件,(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用边界条件——描述系统在边界上的状况,波动方程的三类边界条件,(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承或,诺依曼（Neumann）边界条件,狄利克雷（Dirichlet）边界条件,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件§1.2 定解条件,,,定解条件,偏微分方程的分类,分类依据：阶数、线性性质、齐次性 阶：偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数 线性方程：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性的 （方程（1）,（2）,（3）） 拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总体来说是线性的 （方程（4）,（5）） 完全非线性方程：方程对未知函数的最高阶导数不是线性的 （方程（6）） 齐次性：以方程（1）为例，函数 f (x,y,z,t)与未知函数无关（自由项），若该项恒为零，则该方程为齐次方程反之，为非齐次方程 边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分定解问题,§1.3 定解问题适定性概念,(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。
定解问题的检验,解的存在性：定解问题是否有解； 解的唯一性：是否只有一解； 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定的，我们就称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的对定解问题的适定性进行一定的分析，可以帮助我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件是否合适以及对一个偏微分方程应该如何指定定解条件等问题，同时也可以对求解定解问题起到一定的指导作用除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等§1.3 定解问题适定性概念,课后作业：P6 题1、4和7,。