兵力分配问题(Colonel Blotto game)摘要：通过对红军的收入矩阵分析，可知此为2人零和的矩阵博弈,运用mathematic进行模型建立，最终获得两军交战最优策略关键字：收入矩阵，Mathematics,矩阵博弈一、 问题重述设红军有4个营的兵力，蓝军有3个营的兵力，每营3个连，每连3个排, 争夺A、B两处阵地，假设两军的战斗素质相当，无论在那个阵地，兵力多的一 方获胜，且双方指挥官以排为单位调动兵力我们规定：消灭对方一个排记1 分，占领一处阵地计1分，建模求解这个博弈问题二、 模型建立由题可知，该为二人零和的矩阵博弈，且红军共有3*3*4=36个排；蓝军共 有3*3*3=27个排设红军在A处阵地调动a个排，则在B处阵地调动了 (36-a)个排；蓝军在A处阵地调动b个排，则在B处阵地调动了(27・b)个排；b + l,(a > b)设红军在A处得分为Sa，则SA= <0, (« = b) ,-a-\,{a< b)"(27-b) + l,((36-d)>(27-b))红军在 B 处得分为 Sb，则 SB=< 0, ((36 - a) = (27-/?))一(36 — g) — I,((36-a)< (27一b))则红军的总得分为S二Sa+Sb红军调动兵力在A,B处的分布情况为:[0,36],[1,35],……,[i,36-i],……,[36,0]共37 种情况；蓝军调动兵力在A,B处的分布情况为：[0,27],[1,26],……Jj,27-j],……,[27,0]共28 种情况；故在Mathematics软件包内，求红军的收入矩阵，如卜：A=Table[Which[i>j,j,i==j,0,i28-j,29-j,37-i==28-j,0,37-i<28-j,i-38] ,{i,37},{j,28}]得到收入矩阵为：{{2&26,25,24,23,22,21,20,19,1 & 17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2 丄0}, {29,27,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,&7,6,5,4,3,2,1,0,・1}, {29,29,26,22,21,20,19,1 & 17,16,15,14,13,12,11,10,9,&7,6,5,4,3,2,1,0,・ 1 ,・2}, {29,29,29,25,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,&7,6,5,4,3,2,1,0,-1 ,-2,-3}, {29,29,29,29,24,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2丄0,・ 1,-2,-3,-4), {29,29,29,29,29,23,16,15,14,13,12,11,10,9,&7,6,5,4,3,2,1,0,・1,・2,・3,・4,・5},{29,29,29,29,29,29,22,14,13,12,11,10,9,&7,6,5,4,3,2,1,0,-1 ,-2,-3,-4,-5,-6},{29,29,29,29,29,29,29,21,12,11,10,9,8,7,6,5,4,32,1,0,・ 1,-2,-3,-4,-5,-6,-7},{29,29,29,29,29,29,29,29,20,10,9,8,7,6,5,4,321,0,-1 ,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8}, {1,29,29,29,29,29,29,29,29,19,8,7,6,5,4,321,0,-1 ,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9}, {-26,2,29,29,29,29,29,29,29,29,18,6,5,43,2,1,0,-1 ,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-&・9,・ 10},{・ 25,-24,3,29,29,29,29,29,29,29,29,17,4,3,2,1,0,・ 1 ,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,-11},{・24,・23,-22,4,29,29,29,29,29,29,29,29,16,2,1,0,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,-11,-12}, {-23,-22,-21 厂20,5,29,29,29,29,29,29,29,29,15,0,・ 1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,-11,-12,- 13},{-22,-21 ,-20,-19,-18,6,29,29,29,29,29,29,29,29,14,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,-1112,-13, -14},{-21,-20,-19,・ 18,-17,・ 16,7,29,29,29,29,29,29,29,29,13,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10,-11,-12,-13 <14,-15}, {-20,-19,-18,-17,-16,-15,-14,8,29,29,29,29,29,29,29,29,12,-6,-7,-8,-9,-10,-11,-12,-13,- 14,-15,-16},{-19,-18,-17,-16,・ 15,-14,-13,-12,9,29,29,29,29,29,29,29,29,11 ,-8,-9,-10,-1 1,-12,-13,-14,-15,-16,-17}, {-18,-17,-16,-15,-14,-13,-12,-11,-10,10,29,29,29,29,29,29,29,29,10,-10,-11,-12,-13,-14, -15,-16,-17,-18},{-17,-16,-1514,-13,-12,-1110,-9,-&11,29,29,29,29,29,29,29,29,9,・12,・13,・14,・15,-1 6,-17,-18,-19},{-16,-15,-14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,12,29,29,29,29,29,29,29,29,8,-14,-15,-16,-17,- 1 &・ 19,-20},{-15,-14,-13,-12,-11,-10,-9,-&・7,・6,・5,・4,13,29,29,29,29,29,29,29,29,7,・ 1 6,-17,-18,-19,-20,-21}, {-14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,14,29,29,29,29,29,29,29,29,6,-18,-19,-20,-2 h-22},{-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,15,29,29,29,29,29,29,29,29,5,・20,・21 ,-22,- 23},{-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5 ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,16,29,29,29,29,29,29,29,29,4,-22,-23,-24}, {-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,17,29,29,29,29,29,29,29,29,3,-24,-25},{-10,・9, ■&-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,18,29,29,29,29,29,29,29,29,2,-26},{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,19,29,29,29,29,29,29,29,29,1},{.&-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,29,29,29,29,29,29,29,29}, {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,&9,10,11,12,21,29,29,29,29,29,29,29}, {-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,22,29,29,29,29,29,29}, 0丄2,3,4,5,6,7,&9,10,11,12,13,14,15,16,23,29,29,29,29,29},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,&9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,24,29,29,29,29},,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,1 & 19,20,25,29,29,29}, 卜2,・1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,26,29,29}, {・1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,27,29}, {0,1,2,3,4,5,6,7,&9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,28}}三、运算求解用己得到的红军收入矩阵，在Mathematics内求解，程序如下: k=Abs[Min[A]]+l;B=A+k;BB=TransposefB]; m=Length[A]; n=Length[A[[l]]]; em=Table[l,{m}]; en=Table[l,{n}]; a=LinearProgramming[em,BB,enl; x=a/a>em;Print["x=n,x]b=LinearProgramming[-en,-B,-em]; y=b/b.en;Print[”y 二”,y]x.A> 二 v*enA.y<=v*em 得到结果为：x=》0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0r 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 010, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,2. 9 179 49y= 0・0, 52, 0, 572, 0, 7i5,。
°，1 2O' 22'°'L X27 27 27 27 27 27 27 272 2 2 2 227 27 27 27 27 272 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2^7 1 27 27 27 27 272 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2v, v, v, v, v, v, v, v,0V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, 所以，红军的最优策略为：x= & 0, 0, 0, 0, 0, 0, or or0r 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,2蓝军的最优策略为:y= o・o,952179572490，7150, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0,12227矩阵博弈的值时:v =2 ,这说明优势的一方，红军应该集中兵力作战，多选1择[0,36]与[36,0]这种策略，两种概率均为2 ,而劣势的一方，蓝军应该选择分9散兵力作战，多使用[2,25],[4,23],[6,21],[24,3],[26,1]的策略，概率分别为：52 ,179 49 1 2572 ,。