π的最简表达式传奇郝锡鹏提要 介绍莱布尼茨发现 和李明波发现 的传奇经过一 莱布尼茨级数 1673年，德国外交官莱布尼茨（Leibnitz，1646-1716）独立发现, （1）他将代入（1）式得著名级数 （2）该级数竟将超越数的1/4，用自然数中全部奇数倒数的代数和表出莱布尼茨级数以其特有的工整，在所有的无穷表达式中，被公认是无与伦比的二 李明波公式1997年，中国建筑工程师李明波通过比较级数, （3）， （4）发现， （5）后来他用欧拉（Euler，1707-1783）公式给出了（5）式的证明紧接着，李明波突然注意到，若把代入（5）式，岂不要得出“π的虚数表达式”： （6）李明波最终将它化简为 （7）（7）式的得出让李明波大为吃惊：1 它居然用虚数单位如此简洁地定义了；2 等式的两面都是正分式；3 等式的右侧只有5个符号；4 更重要的是它给人一种玄妙莫测、回味无穷之感三 云横秦岭家何在其实，苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里（James Gregory，1638-1675）在比莱布尼茨早2年的1671年，就已经发现了（1）式，但是他当时竟然没有意思到，该式可以用来表达和计算，尤其是他没有注意到当取时，可得著名级数 。
同样，比李明波早283年的1714年，牛顿（Nneton，1643-1727）的学生——英国数学家科特斯（Cotes，1682-1716）就已经得到公式 （8）如果他当初将代入（8）式便有，再略一整理便可得出李明波的（7）式比李明波早278年的1719年，一位最先使用虚数的业余数学家——意大利的法格纳诺（Fagnano，1682~1766），就已给出 （9）如果他稍微化简一下，也可以得到李明波的（7）式比李明波早249年的1748年，伯努利（Bernoulli，1667-1748）、欧拉（Euler，1707-1783）在开拓虚数初期理论时，就已知道 （10） （11）伯努利和欧拉之初衷，显然是想用去表示关于虚数对数的一些运算结果，如果他们将公式左右颠倒反用并整理一下，就用定义了但是，当初他们显然没有这样做，否则历史会记载他们的这种壮举20多年前，李明波虽知他们的这些结果，但也从未对它进行过这种逆向思维。
无疑，当时的李明波也和伯努利、欧拉一样，处在一种“云横秦岭家何在”的状态之中；1997年的李明波，是通过上节所述的新视点，才顿悟（7）式的四 雪拥蓝关马不前数学史上，经常有已经被前人“碰到鼻子尖的真理”，但却没有被前人更早发现的现象，这从如下著名数学问题的历史中可见一斑：1 用三边表三角形面积的历史是，2200年前，阿基米德（Archimedes，公元前287~212）就给出公式 （12）其中2007年，李明波明确提出了比它更为简洁而实用的公式 （13）例如当、、，用李明波公式（13）易得三角形面积为1，而若用阿基米德公式（12）去计算，麻烦就大了2 被印度誉为国宝的数学家拉马努金（S.Ramanujan,1887-1920），在1913年发现的的4次无理近似值 （14）用精确度超越了让中国引以为荣的祖冲之密率 （15）直到95年后的2008年，李明波又用三个简洁的分数之和 （16）突破了拉马努金结语已被前人“碰到鼻子尖的真理”，但却没有被前人所发现的现象，在历史上屡见不鲜，陈仁政对此曾精辟地指出：只有那些“为伊消得人憔悴”的科学家，才能发现“那人却在灯火阑珊处”。
莱布尼茨级数（2）和李明波公式（7），既简洁而又耐人寻味，无疑是的无穷表达式和有限表达式中的两个精美绝伦的典范参 考 文 献[1] 陈仁政说不尽的北京：科学出版社，2005：5，109，230[2] [美] M·克莱茵古今数学思想（二）上海：上海科学技术出版社：1979：129-130[3] 郝锡鹏李明波弘扬津乾论坛—应用数学[4] 郝锡鹏李明波接力阿基米德津乾论坛—几何天地[5] 郝锡鹏李明波突破欧拉津乾论坛—几何天地[6] 郝锡鹏李明波化圆为方高精尺规作图津乾论坛—几何天地。