注3 定理1的结果是局部的.如果条件加强为 f(x,y)在带域a≤x≤b, -∞＜y＜+∞ 内连续且满足关于y的Lipschitz条件,则可保 证初值问题的解在x∈[a,b]上有定义.此时,称 y= (x), x∈[a,b]为整体解.证明时，取 代替Ｍ(能保证归纳法证明的第一步成立)，重复定理的 证明过程，可保证作出的函数序列{ n(x)} 在 整个区间[a,b]上有定义且一致收敛．特别地，对线性方程如果P(x),Q(x)在[a,b]上连续,则对任意初 值(x0,y0), x０∈[a,b] ，这个方程存在唯一 的解定义于区间x∈[a,b] ．注4 定理的条件不是必要的．例3 证明初值问题(Cauchy问题):的解存在唯一，但f(x,y)在包含(x0,0)的任何 区域内不满足Lipschitz条件，这里证明：当y≠0时, f=ylog|y|, fy′=log|y|+1都 连续 ，所以在区域y≠0内的任一点(x0,y0)作 一不含(x0,0)的区域R, f在R内满足定理条件 ．下面讨论x轴上的任一点(x0,0)．y=0为特 解． y≠0时都不与y=0相交, 所以,满足y(x0)=0的解只有y = 0．下证在y=0附近不满足Lipschitz条件．因为y→0时|log|y|| → +∞，所以不存在L>0 使注５唯一性也可用Gronwall-Bellman不等式 来证明． Gronwall-Bellman不等式: 如果f(x),g(x),k(x)为区间[α,β]上的连续函数, 其中g(x)≥0,且满足那么有这里特别地,当k(x)可微时,有当k(x)=K(常数)时,有Gronwall-Bellman不等式的证明: 记 那么利用Gronwall-Bellman不等式证明唯一性. 因为所以根据Gronwall-Bellman不等式得注６ 如果不考虑唯一性，则有定理２(Peano)如果f(x,y)在区域R内连续, 则方程(1)满足初值条件 (x０)＝y0的解存在 ．现在考虑一阶隐式方程:F(x,y,y′)=0, (15)因F(x,y,y′)=0 中确定出的y′可能不止一个 值,故由它确定的方向场上任一点(x0,y0)的 方向不唯一.因此,这里的唯一性应理解为: 过点(x0,y0)且沿给定方向y′(x0)=y0′的积分 曲线不多于一条.如 定理3 设在点(x0 ,y0 ,y0 ′)的某邻域内,满足 1)F(x,y,y′)对(x,y,y′)连续; 2)F(x0,y0,y0′)=0;3) 存在且 ;(加强为 连续 )4) 存在有界.(加强为 连续 )那么方程(15)存在唯一解y=y(x), |x-x0|≤h(h为足够小的正数) 满足初值条件:y(x0)=y0 , y′(x0)=y0′.证明 前三个条件即为隐含数存在定理的条 件.所以由方程(15)可得y′= f(x,y)连续,且y0′= f(x0,y0), 另外 所以, 有界,根据定理1得, 方程y′= f(x,y) 存在唯一的解 y= (x) 满足y0= (x0)且′(x0)=f(x0, (x0))=f(x0,y0)= y0′.3.1.2 近似计算和误差估计 定理1的证明,提供了一个求初值问题的精 确解与近似解的一种方法.估计式即表明精确解 与第n次近似解 的 误差.例1 考虑定义在R:-1≤x≤1,-1≤y≤上的微 分方程 y′=x2+y2.试利用存在唯一性定理 确定过点(0,0)的解的存在区间,并求在此区 间上与精确解的误差不超过0.05的近似解的 表达式.解:因为 ,a=1,b=1,所以又所以在R上f(x,y)的Lipschitz常数可取为L=2.因为1╱4!= 1╱240使得方程满足y1= φ 1 (x1).的解y= φ 1 (x).在区间[x1-h1, x1+h1]上存在唯一.因而y= φ0, y=φ1是满足同一初值条件y(x1)=y1的解.定义则是初值问题在区间[x0-h0, x1+h1]上的唯 一解.定义2 设 是方程定义在某区间上的解 ,如果它不能再向左、右延拓,则称此解为方程 的饱和解,其定义区间称为它的最大存在区间.引理2 如果f(x,y)满足引理1的条件,那么方程的任一饱和解 的存在区间必为开区 间.定理(解的延拓定理 ) 如果f(x,y)在有界区域 D内连续且关于y满足局部利普希茨条件,则1)对任意(x0,y0)∈D,初值问题 (1)、(3)存在唯 一饱和解y= φ* (x)存在区间为(α, β); 2)当x→ β-(或x→ α+)时,积分曲线上的点 (x,φ* (x))将无限接近区域D的边界∂D.推论 如果D为无界区域,则上述结论1)仍成 立,而结论2)改为 2)存在区间(α, β)的左右端点必属下列情形 之一: ① α =-∞(β =+ ∞); ② α> -∞ (β <+ ∞),当x→ α +(或x→ β -)时,或φ* (x)无界,或 (x, φ* (x)) 无限接 近∂D.如果f(x,y)在整个平面有定义,连续有界(即 斜率有界), fy ′(x,y)连续,则初值问题的 解的存在区间是(-∞,+∞).例1 讨论方程的分别通过点O(0,0),A(log2,-3),B(-log2,-3) 的饱和解的存在区间. 解: 此方程满足解的存在唯一性定理和延拓 定理的条件.通解是:过点的O,A,B解及解的存在区间分别是:例2 已知方程f,fy ′在xoy平面连续.对(x0,y0),|y0|