数字信号处理教程-程佩青-课后题答案5125

第一章 离散时间信号与系统2 . 任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)， 与δ(n-n0) 卷积x(n- n0),所以（1 ）结果为 h(n) (3)结果 h(n-2) （2 ）列表法 x(m) ()hn m n 1 1 1 0 0 0 0 y(n) 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 4 0 1 1 1 1 2 5 0 0 1 1 1 1 1 （4 ） 3 .已知 10,) 1()(anuanhn ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(nh的线性移不变系统的阶跃响应 4. 判断下列每个序列是否是周期性的, 若是周期性的, 试确定其周期： )6()( )( )n 313sin()( )()873cos()( )(njenxcAnxbnAnxa 分析： 序列为)cos()(0nAnx或)sin()(0nAnx时，不一定是周期序列， n m m m n n y n           2 3 1 2 5 . 0 ) ( 0 1 当 3 4 n m n m m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1          当 aaanynaaanynnhnxnyanuanhnunxmmnnmmn1)(11)(1)(*)()(10,) 1()()()(:1时当时当解①当0/2整数，则周期为0/2； ②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0PQP ③当0/2无理数 ，则)(nx不是周期序列。

解： （1）0142/3，周期为 14 （2）062/13，周期为 6 （2）02/12，不是周期的 7.（1） 12121212( )( ) ( )( )( )( )[( )( )]( )( )( )( )[( )][( )]T x ng n x nT ax nbxng n ax nbxng nax ng nbxnaT x nbT xn 所以是线性的 T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的 y(n)=g(n)x(n) y和 x 括号内相等，所以是因果的 （x 括号内表达式满足小于等于 y 括号内表达式，系统是因果的） │y(n)│= │g(n)x(n)│<=│g(n)││x(n)│x(n)有界， 只有在 g(n)有界时， y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定 （3）T[x(n)]=x(n-n0) 线性，移不变，n-n0<=n 即 n0>=0 时系统是因果的，稳定 （5）线性，移变，因果，非稳定 （7）线性，移不变，非因果，稳定 （8）线性，移变，非因果，稳定 8. 不稳定。

是因果的时当解：,1101| )(| ,0)( , 0 )1 ( 22nnhnhn 稳定是因果的时，当3814121111*2*311*2111211101| )(| , 0)(0 )2(nnhnhn 不稳定是因果的时，当210333|)(| ,0)(0 )3(nnhnhn 稳定是非因果的时，当23333|)(|,0)(0)4(210nnhnhn 系统是稳定的系统是因果的时，当7103 . 03 . 03 . 0| )(|, 0)(0 )5(210nnhnhn 系统不稳定系统是非因果的时，当213 . 03 . 0| )(|0)(0 )6(nnhnhn 系统稳定系统是非因果的时，当1|)(|0)(0 )7(nnhnhn 第二章 Z 变换 1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。

（7） 分析： Z 变换定义nnznxzXnxZ)()()]([，n 的取值是)(nx的有值范围 Z 变换的收敛域是满足Mznxnn)(的 z 值范围 解：(1) 由 Z 变换的定义可知： zzazazazazaaz, 0 1, 1 1, 1 零点为：极点为：即：且收敛域： 解：(2) 由 z 变换的定义可知： nnnznuzX)()21()( nnnzazX)(nnnnnnzaza01nnnnnnzaza01))(1() 1()1)(1 (1111212azazazaazazazaazaz)(21)() 2(nunxn)(21)()2(nunxn) 1(21)()3(nunxn) 1(,1)()4(nnnx为常数）00(0,)sin()()5(nnnnx10,)()cos()()6(0rnunArnxn) 1|| ()() 1 (aanxn0)21(nnnz 12111z 21 1121 zz即：收敛域： 0 21 zz零点为：极点为： 解:（3） nnnznuzX) 1()21()(1)21(nnnz 12nnnz zz212 12111z 21 12 zz即：收敛域： 0 21 zz零点为：极点为： 解： (4) 11)(nnznzX 11)(1)(nnznndzzdX21)(11zzznn ，1||z )1(21)()3(nunxn) 1( ,1)()4(nnnx 。

的收敛域为故的收敛域相同，的收敛域和因为1||)()()(1ln)1ln(ln)(zzXdzzdXzXzzzzzX z 1, 0 零点为：极点为：zz 解：(5) 设 )()sin()(0nunny 则有 1||cos21sin)()(20101zzzzznyzYnn， 而 )()(nynnx ∴)()(zYdzdzzX1||,)cos21 (sin)1 (2201021zzzzz 因此，收敛域为 ：1z zzzzezezjj,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为： 解：(6) 1 ,cos21)cos(cos cos21sinsincos21cos1cos)( )()sin(sin)()cos(cos )(]sin)sin(cos)[(cos( )()cos()( 20101201012010100000zzzzzzzzzzzYnunnunnunnnunny设 。

的收敛域为则而的收敛域为则 || )( cos21)cos(cos)()( )()( 1 )( 220101rzzXzrrzrzArzYAzXnyArnxzzYn （7 ）Z[u(n)]=z/z-1 为常数）00(0,sin)()5(nnnnx10),()cos()()6(0rnunArnxn Z[nu(n)]=2-z[]1(1)dzzdz zz 2223Z[n u(n)]=-z[](1)(1)dzzzdzzz 零点为 z=0,±j,极点为 z=1 11211123.,,( )1111212 (1) ( ), z (2) ( ), z11241144111114 (3)( ), z (4) ( ), z8115311515X zzzzX zX zzzzzaX zX zazazz用长除法 留数定理 部分分式法求以下的 反变换 分析： 长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z ）的分子、分母都要按 z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z ）的分子、分 母都要按z的升幂排列。

部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分 式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得 x（n） 留数定理法： 号（负号）”数时要取“用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（现的错误这是常出，相抵消）（来和不能用，消的形式才能相抵的表达式中也要化成因而注意留数表示是）（ 2 )1/(1 )/(1 )( )()())(( Re 11111kkknknkknzzzzzzzzXzzzzXzzzzzzXs （1 ） （i ）长除法： 1212111411211)(zzzzX , 2/1||,2/1zz而收敛域为：极点为 按降幂排列分母要为因果序列，所以分子因而知)(nx 2141211zz 112111211zz  211412121zzz 241z 02121 41211)(nnnzzzzX 所以：)(21)(nunxn （1）(ii)留数定理法： cndzzzjnx11211121)(, 设 c 为 21z内的逆时针方向闭合曲线： 当0n时， nnzzzz211112111在 c 内有 21z一个单极点 则0 ,2121Re)(21nzzsnxnnz ，是 因 果 序 列由于 )( nx 0)( 0 nxn时，故 )(21)( nunxn所以 （1）(iii)部分分式法： 212111411211)(121zzzzzzX  因为 21z 所以 )(21)(nunxn （2）(i). 长除法： 41,41zz而收敛域为由于极点为 , 因而 )(nx是左边序列,所以要按z的 升幂排列： 21 1 2288zz zzz82241 22877zzz 3221122828zzz 112478 478 112288)(nnnnnnzzzzzX 所以 ) 1(417)(8)(nunnxn （2）(ii)留数定理法: 41 )( 21)(1，为设zcdzzzXjnxcn 内的逆时针方向闭合曲线 时：当 0 n 1)(nzzX 在 c 外有一个单极点41z  )0( ,)41(7 ])([Re)(411nzzXsnxnzn 时：当 0 n 1)(nzzX在 c 内有一个单极点0z ∴0, 8])([Re)(01nzzXsnxzn ，内无极点在时：当 )( 0 1czzXnn 0, 0)( nnx则： 综上所述，有： ) 1()41(7)(8)(nunnxn (2)(iii). 部分分式法： 4178)41(2)(zzzzzzzX 则 1411784178)(zzzzX 因为 41z 则)(nx是左边序列 所以 ) 1()41(7)(8)(nunnxn (3)(i). 长除法： 因为极点为az1，由az1可知,为 因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: 221)1(1)1(11zaaazaaaa azazaz11 1)1(1)1()1(zaaaaaaa  2211)1(1)1(1)1(1zaaazaaazaaa 则11)1(1)(nnnzaaaazX 所以 ) 1(1)1()(1)(nuaaananxn (3)(ii). 留数定理法: azdzzzXjnxcn1 c )(21)(1为，设 内的逆时针方向闭合曲线。

) 1(1)1()(1)( 0)( )( 01 1 )(Re)(Re)0(1, 0 c )( 0 )0(,1)1( 11 )(Re)( 1 )( 0 0111111111nuaaananxnxnxnaaaazzXszzXsxazzzzXnnaaazazazazzXsnxazczzXnnnnnnnnnzazazaz所以此时是因果序列，时：由于当两个单极点内有在时：当一个单极点内有在时：当 (3)(iii). 部分分式法： azazaazzazzzX11)1 ()(2  则1111)1()(zaaaazX 所以 )(1)1()()()(nuaaananxn ) 1(1)1()(1nuaaanan (4) 1( )41111()()3535zX zABzzzzz A=5/8, B=3/8 53( )1188355 13 1( )( )(1)( )( )8 38 5nnzzX zzzx nunu n   5．对因果序列,初值定理是)(lim)0(zXxz,如果序列为 0n时0)(nx,问相应的定理是什么? 讨论一个序列 x(n)，其 z 变换为： ( ) (0) X zx的收敛域包括单位圆，试求其值。

分析： 这道题讨论如何由双边序列Z变换)(zX来求序列初值)0(x，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，[ 它们各自由)(zX求)0(x表达式是不同的] ，将它们各自的)0(x相加即得所求 )0()(lim)2() 1()0( )()(:,0)(,0020xzXzxzxxznxzXnxnznn所以此时有：有时当序列满足解： 若序列)(nx的 Z 变换为： 2112512419127)(zzzzX 21,2 )()()(21 32 4 )21)(2(24191272512419127)(21212211zzzXzXzXzzzzzzzzzzzzX的极点为）（）（ 由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆,则其收敛域应该为：221z 31)0()0()0(31213lim)(lim)0(024lim)(lim)0( )( 0 )( 2122010121xxxzzzXxzzzXxnxnnxzzzz）（）（为因果序列：时为有值左边序列，为则 6. 有 一 信 号)(ny， 它 与 另 两 个 信 号)(1nx和)(2nx的 关 系 是 : )1()3()(21nxnxny， 其中)(21)(1nunxn，)(31)(2nunxn，已知111)]([aznuaZn ，az ，利用 z 变换性质求 y(n)的 z 变换 Y(z)。

解： )z3)(21-(z3z)z311)(21-(zz 3112111)]1n(x[3 13 3 311)()1(31 3111)()(21 2111)()3(3111)()( 2111)()(55132121122112213131122111zzzzZ)](nZ[xY(z))n()*x(nxy(n)zzzzzXnxzzzXnxzzzzXznxzzXnxzzXnxZZZZZ所以而 8. 若)(),(21nxnx是因果稳定序列，求证： })(21}{)(21{)()(212121deXdeXdeXeXjjjj 分析： 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 deeXeXnxnxnjjj)()(21)(*)(2121 ，而 )()(21 )0()0(0)(*)( 212121deXeXxxnnxnxjj 再利用)()(21nxnx、的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。

证明: deeXeXeXeXeYzXzXzYnxnxnynjjjjjj)()(21 )()()( )()()( )()()( 21212121则设 )()()()(2121nxnxnydeeYnjj )0()0( )()( | )()( )()(21 21002102121xxknxkxnxnxdeXeXnnknjj deeXnxdeeXnxnjjnjj)(21)( )(21)(2211 ∴deXxj)(21)0(11 deXxj)(21)0(22 })(21}{)(21{)()(212121deXdeXdeXeXjjjj 10. 分析： 利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式 )()(2122 njnxdex 解：  4 )0( 2 )()( )(6)()()( )(000xdeeXdeXbnxenxeXajjjnnnjj )(c由帕塞瓦尔公式可得： nnxdeXj22)(2)(28 )(d∵nnjjenxeX)()( ∴nnjjenxjndedX)()()( 即dedXnxjnDTFTj)()()( 由帕塞瓦尔公式可得： 316)490256491019(2)(2| )()( |2)(2222nnnxnnxjnddedXj 13. 研究一个输入为)(nx和输出为)(ny的时域线性离散移不变系统，已知它满足 )() 1()(310) 1(nxnynyny 并已知系统是稳定的。

试求其单位抽样响应 分析： 在Z变换域中求出( )( )/( )H zY zX z，然后和题 12（c ）一样分解成部分分式分别 求Z反变换 解： 对给定的差分方程两边作 Z 变换，得： 1110( )( )( )( )3( )1( ) 101( )(3)()33z Y zY zzY zX zY zzH zX zzzzz则： 31,3 21zz极点为， 为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故为1/3<│z│<3 即可求得 )(31) 1(383)(nununhnn 14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案 )() 1()(25) 1(nxnynyny 解 : 对题中给定的差分方程的两边 作 Z 变 换，得： )()()(25)(1zXzzYzYzYz 因此)()()(zXzYzH zz2511 )21)(2(zzz  其零点为 0z 极点为 21z ,212z 因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。

收敛域情况有： 零极点图一：2z 零极点图二：221z 零极点图三：21z 注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可 (1) 按 12 题结果(此处 z1=2, z2=1/2), 可知当收敛区域为2z,则系统是非稳定的， 但是因果的 其单位抽样响应为： )()(1)(2121nuzzzznhnn )()22(32nunn (2) 同样按 12 题，当收敛区域为221 z ，则系统是稳定的但是非因果的 其单位抽样响应为： )() 1(1)(2112nuznuzzznhnn )(21) 1(232nununn |)||||(|12zzz (其中 21z 212z ) (3) 类似 , 当收敛区域为21z时，则统是非稳定的，又是非因果的 其单位抽样响应为： ) 1() 1(1)(2112nuznuzzznhnn ) 1()22(32nunn (其中 21,221zz) 第三章 离散傅立叶变换 1.如下图，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

5062650)(~)(~)(X~ :nnkjnknenxWnxk解 kjkjkjkjkjeeeee562462362262621068101214 计算求得: 339)5(~; 33)4(~ ; 0)3(~; 33)2(~ ;339) 1 (~;60)0(~jXjXXjXjXX 并作图表示试求设)(~),(~)(~ . ))(()(~),()(. 264kXnxkXnxnxnRnx 5062650)(~)(~)(~ :nnkjnknenxWnxkX解 kjkjkjeee3231 计算求得： 3)5(~ ; 1)4(~ ; 0)3(~ ; 1)2(~ ; 3) 1 (~ ; 4)0(~jXXXXjXX 4641,043.( ),( )(2) ,( )(( )),( )(( )) ,0( )( ) nnx nh nR nx nx nh nh nnx nh n设令，其它试求与的周期卷积并作图。

解：在一个周期内的计算值 4.分析：此题需注意周期延拓的数值，如果 N 比序列的点数多，则需补零；如果N 比序列的点数少，则需将序列按 N 为周期进行周期延拓，混叠相加形成新序列先周期延拓再翻褶、移位 x((-n))5为周期序列{1,0,2,3,1} x((n))6为周期序列{1, 1,3,2,0,0} x((-n))6R6(n)为 6 点有限长序列{1,0,0,2,3,1} x((n))3R3(n)为 3 点有限长序列{3,1,3} x((n-3))5R5(n)为 5 点有限长序列{3,2,0,1,1} x((n))7R7(n)为 7 点有限长序列{1, 1,3,2,0,0,0} 8. 解： （1）x(n)*x(n)= 40( ) ()mx m x nm x(m) ~()x n m n 1 0 2 1 3 0 0 y(n) 0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 1 4 3 1 2 0 1 2 4 3 1 2 0 1 10 5 0 3 1 2 0 1 4 6 0 0 3 1 2 0 1 13 7 0 0 0 3 1 2 0 6 8 3 1 2 9 )(~)(~*)(~)(~mnhnhnxny)(~)(~*)(~)(~mnhnhnxny(2) x(n)⑤x(n)=4( ) (())( )5 50x m x nmRnm x(m) ~5 5(())( )x n m R n n 1 0 2 1 3 f(n) 0 1 3 1 2 0 5 1 0 1 3 1 2 13 2 2 0 1 3 1 10 3 1 2 0 1 3 11 4 3 1 2 0 1 10 (3) (3)x(n)⑩x(n) 与线性卷积结果相同，后面补一个零。

10. 6n4 ,03n0 , 1)(nnx，1, 04( )1 , 56ny nn  ，求 f(n)=x(n) ⑦y(n) 解： f(n)=x(n)⑦y(n)=)())(()(7607nRmnymxm x(m) )(~mny n 1 2 3 4 0 0 0 f(n) 0 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 4 2 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -2 3 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -10 4 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -10 5 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -8 6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -4 第四章 快速傅立叶变换 运算需要多少时间计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFT DFT[x(n)]512s 5 s 50. 1 解: 解: ⑴ 直接计算: 复乘所需时间: 复加所需时间: ⑵用 FFT 计算: 复乘所需时间: 复加所需时间: 3. sNTN01152. 0512log105log105 2251262261sTTTsNNT013824. 0 002304. 0512log512105 . 0log105 . 0 2126262sTTTsNNT441536. 1 130816. 0) 1512(512105 . 0) 1(105 . 0 21662sNT31072. 1 512105 105 26261 运算量：复数乘法次数（乘±1 、±j 不计算在内，要减去系数为±1 、±j的，即0/4,NWWNN） ，即 8*4-（1+2+4+8）- （1+2+4）=10 复数加法次数为 64 次 第五章 数字滤波器的基本结构 1.用直接 I 型及典范型结构实现以下系统函数 21214 . 06 . 028 . 02 . 43)(zzzzzH 分析：①注意系统函数H(z)分母的 0z项的系数应该化简为 1 。

②分母) , 2 , 1( izi的系数取负号，即为反馈链的系数 解： 21212 . 03 . 014 . 01 . 25 . 1)(zzzzzH)2 . 03 . 0(14 . 01 . 25 . 12121zzzz ∵)()(1)(10zXzYzazbzHNnnnMmmn ∴3 . 01a ，2 . 02a 5 . 10b ，1 . 21b ，4 . 02b  2.用级联型结构实现以下系统函数)8 . 09 . 0)(5 . 0() 14 . 1)(1(4)(22zzzzzzzH 试问一共能构成几种级联型网络 分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的） 解： kkkkkzzzzAzH2211221111)( )8 . 09 . 01)(5 . 01 ()4 . 11)(1 (4211211zzzzzz ∴ 4A 8 . 0 , 9 . 0 , 0, 5 . 0 1, 4 . 1 , 0 , 1 2212211122122111  由此可得： 采用二阶节实现， 还考虑分子分母组合成二阶 （一阶） 基本节的方式，则有四种实现形式。

4．用横截型结构实现以下系统函数： 1111116112161211)(zzzzzzH 分析： FIR滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型 111111121121121211234511( )(1)(16)(12)(1)(1)2611 (12)(16)(1)26537 (1)(1)(1)2682052058 1312123H zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz解：  7．设某 FIR 数字滤波器的系统函数为：)3531 (51)(4321zzzzzH 试画出此滤波器的线性相位结构 分析：FIR线性相位滤波器满足)1()(nNhnh，即对2/)1(Nn呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构 解：由题中所给条件可知：由题中所给条件可知： )4(51) 3(53 )2() 1(53)(51)(nnnnnnh 。

为奇数，处偶对称，对称中心在即则 )5( 221 )(1)2( 6.053)3()1( 2.051)4()0( NNNnnhhhhhh 第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法 1.用冲激响应不变法将以下 )(sHa变换为 )(zH，抽样周期为 T 为任意正整数 ,)()( )2()()( )1 (022nssAsHbasassHnaa 分析： ①冲激响应不变法满足)()()(nThthnhanTta， T 为抽样间隔这种变换法必须)(sHa先用部分分式展开 ②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式 1!][nnSntL, nantsaSSAsHtuntAeth)()()()!1()(010， 可求出 )()()(kTThtThkhakTta， 又 dzzdXzkkx)()(，则可递推求解 解: (1) jbasjbasbasassHa1121 )()(22 )( 21)()()(tueethtjbatjbaa 由冲激响应不变法可得： )( 2 )()()()(nueeTnTThnhnTjbanTjbaa 11011112 )( )(zeezeeTznhzHjbTaTjbTaTnn 2211cos21cos1 zebTzebTzeTaTaTaT (2) 先引用拉氏变换的结论 1!nnsntL 可得： nassAsH)()(0 )()!1()(10tuntAethntsa则 )()!1()()()(10kunkTAeTTkThkhnkTsa dzzdXzkkxazkuaZZk)()( , 11)( 1且按 )11()()!1( )()!1( )()(111111000zedzdznATezknTTAzkhzHTsnnkkTsnnkk可得 ,3,2)1 (1,1)(111000nzezeATnzeATzHnTsTSnTs，可以递推求得： 3．设有一模拟滤波器 11)(2sssHa抽样周期 T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数)( zH。

分析： 双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1111zzcs 解： 由变换公式 1111zzcs 及 Tc2 可得： T = 2 时： 1111zzs 1111|)()(zzsasHzH 11111111211zzzz 2213)1(zz 。