华章文化 四川专版《火线100天》word版题型专项(七) 二次函数与几何图形的综合 二次函数与几何图形的综合题是四川中考压轴题的必考题型，常结合三角形、四边形、圆等考查二次函数或一次函数的解析式，点的坐标，综合探究图形的基本性质，线段、面积的数量关系及最值问题，与图形变换等有关的综合题，存在三角形为直角三角形或等腰三角形，存在平行四边形(含特殊平行四边形)，存在三角形相似等．这类压轴题的综合性强，难度较大，复习时应总结解题通法，加强练习，突破高分瓶颈． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；【思路点拨】 ∵抛物线y＝ax2＋bx＋2的解析式中只有两个未知数，故只需将抛物线上两个点的坐标代入，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式．【自主解答】 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－3，0)，B(1，0)，∴解得∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2., 1．确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件：(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)已知抛物线与x轴的两个交点(或横坐标x1，x2)时，选用交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．用待定系数法求二次函数解析式的步骤：(1)设二次函数的解析式；(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；(3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式． (2)过点P作PM⊥x轴于点M，交AC于点Q，求线段PQ的最大值；【思路点拨】 设出P点的坐标，并用含有字母的代数式表示出PQ的长度，结合字母的取值范围，求出PQ的最大值．【自主解答】 解：由题知，C(0，2)，A(－3，0)，∴可求直线AC的解析式为y＝x＋2，设点P坐标为(m，－m2－m＋2)．∵PQ⊥x轴且点Q在直线y＝x＋2上，∴Q(m，m＋2)．∴PQ＝(－m2－m＋2)－(m＋2)＝－m2－2m＝－(m＋)2＋.∴当m＝－时，PQ取得最大值，最大值为.1．二次函数压轴题中设点的坐标时要根据点的位置特征，即若点在抛物线上，该点坐标可设为(x，ax2＋bx＋c)；若点在对称轴上，该点坐标可设为(－，y)；若点在直线上，该点坐标可设为(x，kx＋b)，再结合具体情境去求解．2．探究线段的最值问题：解决此类问题首先设出关键点的坐标(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，进而得到线段长的最大值或最小值．3．探究线段的数量关系(如分类训练P41T7(3))：此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况，应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值．(3)在(2)的条件下，过点P作PH⊥AC于点H，求△PHQ周长的最大值；【思路点拨】 在Rt△PHQ中，将PH，QH的长用PQ的长表示出来，从而要求△PHQ周长的最大值即求PQ长的最大值．【自主解答】 ∵AO＝3，CO＝2，∴AC＝.∵PH⊥AC，PQ∥y轴，∴∠QPH＝∠CAO.∴sin∠QPH＝sin∠CAO＝＝，cos∠QPH＝cos∠CAO＝＝，∴C△PHQ＝PQ＋QH＋PH＝PQ＋PQsin∠QPH＋PQcos∠QPH＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)PQ 由(2)知，PQ＝－m2－2m，则C△PHQ＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)PQ＝(1＋＋)(－m2－2m)＝＝－(m＋)2＋.∴存在点P(－，)，使△PHQ的周长最大，且最大值为. 1．探究三角形周长的最值问题：求三角形周长的最值问题，一般所求三角形有一条边的长度是定值，即可转化为求线段和的最小值问题．对于求直线同侧两点到直线上一点的线段和最小值问题，首先要想到“最短路径问题”，一般是作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另外一点与直线的交点，即为使得线段和最小的点，最后计算即可．2．探究线段差的最值问题(如分类训练P42T8(3))：对于线段差的最值问题，一般是放在三角形中，根据三角形的三边关系来求解，分为三点共线和不共线两种情况．, (4)是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【思路点拨】 要使△ACP的面积最大，可先把△ACP的面积用含有字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值，进而求得P点坐标．【自主解答】 解：存在．设点P的坐标为(t，－t2－t＋2)，方法一：由(2)知PQ＝(－t2－t＋2)－(t＋2)＝－t2－2t，∴S△ACP＝PQ(xC－xA)＝(－t2－2t)[0－(－3)]＝－t2－3t＝－(t＋)2＋.∴存在点P(－，)，使△ACP的面积最大． 方法二：连接PO，作PN⊥y轴于N.PM＝－t2－t＋2，PN＝－t，AO＝3，OC＝2.S△ACP＝S△PAO＋S△PCO－S△ACO＝AOPM＋COPN－AOCO＝3(－t2－t＋2)＋2(－t)－32＝－t2－3t.∵－1＜0，∴当t＝－＝－时，S△ACP有最大值．此时－t2－t＋2＝－(－)2－(－)＋2＝，∴存在点P(－，)，使△ACP的面积最大． 1．在解答三角形面积的最值问题时，具体方法如下：(1)确定三角形三个顶点位置；(2)根据题意，设动点的运动时间t或设出动点坐标，确定三角形的底和高，用含t的式子表示出底和高或利用与已知线段长度的三角形相似，从而用含有t的代数式表示底和高；(3)利用面积公式S＝底高，得到关于t的二次函数，将二次函数配方成顶点式求出面积的最大值和此时的t值．2．在解答三角形面积数量关系问题(如分类训练P43T10(3))时，解题思路如下：(1)三角形面积数量关系涉及有一个三角形面积与一个已知三角形面积相等或有一定的倍数关系，一般是通过构造两个三角形同底或等高；(2)如果涉及两个三角形面积相等，可以根据题意作平行线构造同底等高，此时就要分情况分别求解；(3)如果涉及两个三角形面积成倍数关系，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解．3．探究四边形面积的最值及数量关系问题(如分类训练PT9(2))：对于四边形的面积最值及数量关系，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形(常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积)，其求法同三角形．,(5)在平面直角坐标系中，是否存在点R，使△BCR是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由；【思路点拨】 △BCR是以BC为腰的等腰直角三角形，则需分以点C或点B为直角顶点的等腰直角三角形两种情况．【自主解答】 解：存在．以BC为边在两侧作正方形BCR1R2、正方形BCR4R3，则点R1，R2，R3，R4为符合题意要求的点．过R1点作R1D⊥y轴于点D，∵∠BCR1＝90，∴∠R1CD＋∠OCB＝90.又∵在Rt△OBC中，∠OCB＋∠CBO＝90∴∠R1CD＝∠CBO.又∵R1C＝CB，∠R1DC＝∠COB，∴△R1CD≌△CBO(AAS)．∴R1D＝OC＝2，CD＝OB＝1.∴OD＝OC＋CD＝3.∴R1(2，3)．同理求得R2(3，1)，R3(－1，－1)，R4(－2，1)．∴存在点R，使△BCR是以BC为腰的等腰直角三角形．R点坐标为R1(2，3)，R2(3，1)，R3(－1，－1)，R4(－2，1)．1．在解答直角三角形的存在性问题(如分类训练PT3(3))时，具体方法如下：(1)先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；(2)找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；(3)计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各条边(表示线段时，还要注意代数式的符号)，再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点的坐标．2．在解答等腰三角形的存在性问题(如分类训练P39T4(2)②)时，具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)设出点坐标，求边长；(3)当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点；若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在．用以上方法即可找出所有符合条件的点；(4)计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形的性质求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解． (6)点R是直线AC上方的抛物线上一动点，过点R作RE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点R，使以点B，R，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由；【思路点拨】 因为∠REB＝∠AOC＝90，使以点B，R，E为顶点的三角形与△AOC相似，则需分△BER∽△AOC或△REB∽△AOC两种情况分别求解．【自主解答】 解：存在．设E(n，0)，则BE＝1－n，RE＝－n2－n＋2.假设以点B，R，E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况：①若△BER∽△AOC，则＝，即＝，化简，得n2＋n－2＝0， 解得n1＝－2，n2＝1(与B重合，舍去)，∴n＝－2，RE＝－n2－n＋2＝2.∴R(－2，2)．②若△REB∽△AOC，则＝，即＝，化简，得4n2－n－3＝0，解得n1＝－，n2＝1(与B重合，舍去)，∴n＝－，RE＝－n2－n＋2＝.∴R(－，)．综上所述，存在点R，使以点B，R，E为顶点的三角形与△AOC相似．R点坐标为(－2，2)或(－，)．, 1．探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：(1)假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；(2)确定分类标准．在分类。