1979 年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共 8 小题，满分 96 分）1． （9 分）求函数 y=2x2﹣2x+1 的极小值．2． （9 分）化简[（1+sin 2θ） 2﹣cos4θ][（1+cos 2θ） 2﹣sin4θ]．3． （9 分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有 V1 公斤，乙有 V2 公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为 m1：n 1；，乙中纯酒精与水之比为 m2：n 2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？4． （9 分）叙述并证明勾股定理．5． （14 分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线 D 里以内的区域，设 A 及 B 是我们的观测站，A 及 B 间的距离为 S 里，海岸线是过 A，B 的直线，一外国船在 P 点，在 A 站测得∠BAP=α 同时在 B 站测得∠BAP=β，问 α 及 β 满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？6． （14 分）美国的物阶从 1939 年的 100 增加到四十年后 1979 年的 500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln （1+x ）≈x，取 lg2=0.3，ln10=2.3）7． （18 分）设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A，与CF 的延长线相交于点 B．求证：8． （14 分）过原点 O 作圆 x2+y2﹣2x﹣4y+4=0 的任意割线交圆于 P1，P 2 两点，求 P1P2 的中点 P 的轨迹． 1979 年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共 8 小题，满分 96 分）1． （9 分）求函数 y=2x2﹣2x+1 的极小值．考点： 利用导数研究函数的极值．专题： 计算题．分析： 求导，解方程 f′（x）=0，分析零点两侧导函数的符号，确定该点是否为极值点，是极大值点还是极小值点，从而求得函数 y=2x2﹣2x+1 的极小值．解答： 解：y′=4x ﹣2=0解得 x= ，y、y′随 x 的变化如下表：∴x= 时，y 取极小值 ．点评： 考查利用函数的导数研究函数的极值问题，属基础题．2． （9 分）化简[（1+sin 2θ） 2﹣cos4θ][（1+cos 2θ） 2﹣sin4θ]．考点： 运用诱导公式化简求值；二倍角的正弦． 专题： 计算题．分析： 把原式的两个中括号分别利用平方差公式化简后，然后利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，即可把原式化简．解答： 解：原式=（ 1+sin2θ+cos2θ） （1+sin 2θ﹣cos2θ）• （1+cos 2θ+sin2θ） （1+cos 2θ﹣sin2θ）=2[1﹣（cos 2θ﹣sin2θ）]•2[1+（cos 2θ﹣sin2θ）]=4（1﹣cos2θ ） （1+cos2θ）=4sin 22θ．点评： 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道中档题．3． （9 分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有 V1 公斤，乙有 V2 公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为 m1：n 1；，乙中纯酒精与水之比为 m2：n 2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题．分析： 溶质=溶液 ×百分比；分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．解答：解：甲中含纯酒精 （公斤） ，含水 （公斤）乙中含纯酒精 （公斤） ，含水 （公斤）甲乙共含纯酒精= 公斤甲乙共含水= 公斤混合后，纯酒精与水比为：[m1v1（m 2+n2）+m 2v2（m 1+n1）]：[n 1v1（m 2+n2）+n 2v2（m 1+n1）] ．点评： 考查函数模型的选择与应用，考查列代数式；得到纯酒精的和及纯水的和是解决本题的关键．4． （9 分）叙述并证明勾股定理．考点： 分析法和综合法． 专题： 证明题．分析： 勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明．解答： 证明：如图左边的正方形是由 1 个边长为 a 的正方形和 1 个边长为 b 的正方形以及 4 个直角边分别为a、b，斜边为 c 的直角三角形拼成的．右边的正方形是由 1 个边长为 c 的正方形和 4 个直角边分别为 a、 b，斜边为 c 的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b） ，所以可以列出等式 ，化简得 a2+b2=c2．下面是一个错误证法：解：勾 股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理证明：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b＞a ） ，斜边长为 c．再做一个边长为 c 的正方形．把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上．过点 Q 作 QP∥BC，交 AC 于点 P．过点 B 作 BM⊥PQ，垂足为 M；再过点 F 作 FN⊥PQ，垂足为 N．∵∠BCA=90°，QP ∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC=90°．∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠ BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．同理可证 Rt△QNF≌Rt△AEF．即 a2+b2=c2点评： 勾股定理是初等几何中的一个基本定理．所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．故大家要熟练掌握他的内容及证明方法．5． （14 分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线 D 里以内的区域，设 A 及 B 是我们的观测站，A 及 B 间的距离为 S 里，海岸线是过 A，B 的直线，一外国船在 P 点，在 A 站测得∠BAP=α 同时在 B 站测得∠BAP=β，问 α 及 β 满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？考点： 解三角形的实际应用． 专题： 应用题．分析： 作 PC⊥AB 于 C，设 PC=d，在直角三角形 PAC 可分别表示出 AC，BC，进而代入 S=AC+BC中，根据 d 的范围确定 cotα+cotβ 的范围．解答： 解：作 PC⊥AB 于 C，设 PC=d，在直角三角形 PAC 中，AC=d•cotα 在直角三角形 PC 中，BC=d•cotβ∴S=AC+BC=d（cotα+cotβ）当 d≤D，即 cotα+cotβ≥ 时，应向外国船发出警告．点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6． （14 分）美国的物阶从 1939 年的 100 增加到四十年后 1979 年的 500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln （1+x ）≈x，取 lg2=0.3，ln10=2.3）考点： 对数函数图象与性质的综合应用． 专题： 计算题．分析： 根据题设条件，年增长率 x 应满足 100（1+X） 40=500，即（1+X） 40=5．然后取自然对数求出年增长率 x．解答： 解：年增长率 x 应满足100（1+X） 40=500，即（1+X） 40=5．取自然对数有 40ln（1+x） =ln5．又 lg5=1﹣0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用 ln（1+x）≈x ，则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四．点评： 注意挖掘题设中的隐含条件，寻找数量间的等量关系，能够准确求解．7． （18 分）设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A，与CF 的延长线相交于点 B．求证：考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 证明题．分析： 做出辅助线，根据一个圆周角是直角，得到圆周角所对的弦是直径，根据连接圆心与切点的直线垂直，得到直角，在直角三角形中应用射影定理，得到线段成比例，通过变形得到要征得结论．解答： 解：证连接 CD，∵∠CFD=90°，∴CD 为圆 O 的直径，又 AB 切圆 O 于 D，∴CD⊥AB，又在直角三角形 ABC 中， ∠ACB=90°，∴AC2=AD•AB，BC 2=BD•BA∴又因 BD2=BC•BF，AD 2=AC•AE∴由（1）与（2）得点评： 本题是一个与圆有关的比例线段问题，这是一个平面几何问题，在解题时所应用的方法在立体几何中也会用到，是一个综合题．8． （14 分）过原点 O 作圆 x2+y2﹣2x﹣4y+4=0 的任意割线交圆于 P1，P 2 两点，求 P1P2 的中点 P 的轨迹．考点： 直线与圆的位置关系；轨迹方程． 专题： 计算题；数形结合．分析： 设割线 OP1P2 的直线方程为 y=kx 与圆的方程联立得（ 1+k2）x 2﹣2（1+2k）x+4=0，再由韦达定理得： ，因为 P 是 P1P2 的中点，所以 ，再由 P 点在直线y=kx 上，得到 ，代入上式得 整理即可．要注意范围．解答： 解：设割线 OP1P2 的直线方程为 y=kx 代入圆的方程，得：x 2+k2x2﹣2x﹣4kx+4=0即（1+k 2）x 2﹣2（1+2k ）x+4=0设两根为 x1，x 2 即直线与圆的两交点的横坐标；由韦达定理得：又设 P 点的坐标是（ x，y ）P 是 P1P2 的中点，所以又 P 点在直线 y=kx 上，∴ ，代入上式得两端乘以 ，得即 x2+y2=x+2y这是一个一点 为中心，以 为半径的圆，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．点评： 本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．。